Studio di funzioni

In analisi matematica per studio di funzione si intende quell’insieme di procedure che hanno lo scopo di analizzare una funzione f(x) al fine di determinarne alcune caratteristiche qualitative. Uno studio di funzione correttamente condotto permette di tracciare il grafico della funzione.

Formulari sullo studio di funzioni:

Funzioni elementari e loro domini – Formulario
Guida alla studio di funzione

Esercizi svolti sullo studio di funzioni:

Studio di funzioni – Funzioni razionali intere (15 esercizi svolti)
Studio di funzioni – Funzioni razionali fratte (20 esercizi svolti)
Studio di funzioni – Funzioni irrazionali (13 esercizi svolti)
Studio di funzioni – Funzioni esponenziali (11 esercizi svolti)
Studio di funzioni – Funzioni logaritmiche (11 esercizi svolti)
Studio di funzioni – Funzioni goniometriche (7 esercizi svolti)
Studio di funzioni – Funzioni con valori assoluti (8 esercizi svolti)
Studio di funzioni – Funzioni inverse delle circolari (2 esercizi svolti)
Studio di funzioni – Esercizi di riepilogo (14 esercizi svolti)

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145 thoughts on “Studio di funzioni

  1. Ciao Albert,gentilmente puoi spiegarmi come faccio, dove sia possibile, a stabilire concavità e convessità senza calcolo della seconda derivata. puntualmente sbaglio, cerco di seguire gli asintoti, ma è sempre il contrario…
    grazie…

    1. Purtroppo non c’è un metodo preciso: disegni il grafico con tutte le informazioni che hai e poi vai per intuizione (in ogni caso non hai garanzie che sia giusto, a meno di funzioni elementari).

      Riguardo all’asintoto ti faccio un esempio di intuizione. Se hai un asintoto orizzontale destro: con funzione crescente per x–>+inf avrai funzione concava, con funzione decrescente per x–>+inf avrai funzione convessa.

  2. Ciao intanto volevo farti i complimenti per il sito, è fatto davvero bene! Mi era sorto un dubbio sul dominio di questa funzione f(x)= e^-(log(x-2)^2, potrebbe essere tutto R con x diverso da 2?

    ^ STA PER “ELEVATO ALLA”

    Grazie!

    1. Ciao Anonimo,

      mi dispiace ma non ho tempo di fare studi completi: se invece hai qualche domanda in particolare a riguardo chiedi pure.

  3. mi sapreste dire le condizioni del dominio? nel senso, in una frazione il denominatore va posto diverso da 0.. vorrei sapere tutte le condizioni (logaritmo, radice, radice al denominatore…) Grazie in anticipo

  4. Grazie mille! =) Ragionandoci sù ieri sono giunta alla stessa conclusione…dovevo solo rifletterci un po’! =) Grazie ancora!

  5. Ciao Albert,ho un problema…potresti solo spiegarmi il dominio di questa funzione?
    f(x)= x-1/radice quadrata di x2+1? Perchè sono bloccata proprio dall’inizio e quindi non posso andare avanti se non capisco neanche il dominio :D Grazie mille!!!

    1. Devono valere contemporaneamente:

      1) Il denominatore (e di conseguenza il radicando x^2 +1) deve essere diverso da zero.

      2) Il radicando x^2 +1 deve essere maggiore o uguale a zero.

      Di conseguenza ottengo che:

      x^2 +1 >0 –> x^2 > -1 che è sempre vera, quindi il dominio è tutto R: D=R

  6. Ciao Albert…nello studio del segno della derivata prima, come mai la stassa viene posta alcune volte >=0 altre invece solo >….nn riesco a capire la differenza…grz mille e complimenti x il sito ;)

    1. In generale voglio sapere quando la derivata è positiva (e per esclusione deduco e mi interessa anche quando è negativa), e anche quando è nulla. Se a volte l’ho posta solo maggiore significa probabilmente che avevo già dedotto che non sia annulla mai…

  7. a seconda invece è fx=2-2x-x^3. il dominio è tutto R.la derivata prima è=-2-3x^2 non ci sono punti di massimo e minimo la derivata seconda invece è=-6x ed è concava per x>0. la terza invece è fx=e^2x-x^2 il dominio è tutto R la fx<0 mai perché l’esponenziale è sempre positiva, la derivata prima è e^2x-x^2(-x)eventuali estremi un punto di massimo x=0

  8. ho svolto tre studi di funzione e volevo confrontarmi per vedere se ho svolto bene l’esercizio.
    il primo studio di funzione mi chiedeva di trovare il dominio,la fx<0 e la derivata
    la funzione è:x^2-5x+6/x^2-2x+3. il dominio è tutto R perchè il delta mi viene negativo. la fx<0 è 2<x<3.la derivata prima è 3(x?2-2x-1/(x^2-2x+3)^2

    1. Raccogli la x:
      x(2lnx +1)>0

      Studi i due fattori:
      F1>0 –> x>0
      F2>0 –> 2lnx +1>0 –>
      –> lnx>-1/2 –> x>e^(-1/2)

      Quindi:
      Se x<=0 f(x) non esiste perchè il logaritmo non esiste
      Se 00 e F2<0
      Se x>=e^(-1/2) f(x)>=0 perchè F1>0 e F2>=0

  9. Riguardo alla funzione x^2*e^(1/x):

    Ha dominio D=R-{0} perchè per x=0 si annulla il denominatore all’esponente.

    La derivata (2x-1)e^(1/x) è giusta, come anche il minimo in x=1/2.

    Beh si, diciamo che per x>0 il grafico “assomiglia vagamente” ad una parabola… Eccolo:

    http://ow.ly/dOYJu

  10. volevo sapere se il dominio è da
    (-inf;+inf),quindi i limiti sono tutti inf,la derivata è e^(1/x)*(2x-1)quindi minimo ad 1/2 e parabola come grafico…puo tornare senza calcoli?
    grazie!

  11. – Per prima cosa nel commento precedente non ho scritto il primo sistema, anche se era intuibile visto il primo passaggio. Correggo:

    “Devi fare il sistema tra le due disequazioni:

    a) -1=0 “

    – La derivata prima non è difficilissima da calcolare (ma ometto i calcoli perchè impazzirei con le parentesi) la trovi qui:

    http://www.wolframalpha.com/input/?i=der+arcsin%28sqrt%284x-x^2%29%29

    ed è positiva (f crescente) per x<2, ovvero nel primo ramo della funzione (vedi dominio). Nel secondo ramo f sarà quindi decrescente.

    – La derivata seconda è questa:

    http://www.wolframalpha.com/input/?i=der+%282-x%29%2Fsqrt%28-%28x-4%29x%28x^2-4x%2B1%29%29

    il suo studio non è per niente semplice e dovrebbe darti due flessi, visto il grafico:

    http://www.wolframalpha.com/input/?i=arcsin%28sqrt%284x-x^2%29%29

  12. Devi fare il sistema tra le due disequazioni:

    a) -1=0

    la radice quadrata quando esiste è sempre positiva quindi anche maggiore di -1:

    a) rad(4x-x^2)<1
    b) 4x-x^2>=0

    la radice è minore di 1 quando il suo radicando è minore della rad1=1:

    a) 4x-x^2<1
    b) 4x-x^2>=0

    Risolvendo singolarmente le due disequazioni ottengo:

    a) x<2-rad3 V x>2+rad3
    b) 0 <= x <= 4

    e la soluzione del sistema (il dominio) risulta:

    0 <= x < 2-rad3 V 2+rad3 < x <= 4

  13. salve,potrebbe svolgermi il dominio della funzione arcsen di radice quadrata di (4x-x^2) ?!?! devo imporre che 4x-x^2 sia maggiore di zero,e allo stesso tempo devo imporre che la radice di 4x-x^2 sia compreso tra -1 e 1 giusto?!?e poi dovrei unire i due risultati,ma non sono molto sicura del mio risultati!può svolgerlo così vedo se ho fatto giusto?grazie mille

  14. salve, può aiutarmi con lo studio di funzione lnx \ ln x +1 ?? non riesco a capire se al denominatore il +1 è argomento del logaritmo o no

  15. Complimenti per il sito! ** Dopo tante ricerche, finalmente ho trovato un sito che mi è molto utile… ben fatto! :)
    Oddio, speriamo per l’esame, domani… Incrociamo le dita xD
    Grazie, Eva.

  16. Ciao Albert sono Gianni.Scusa se disturbo ma martedi ho l’esame e tra gli esercizi della prof non riesco a svolgere queste due tipologie di studio di funzione.Se te li posto saresti cosi gentile da darmi una mano???

    f(x)= log in base 4 di radice((4^x)-1)

    f(x)= log in base 2 di ((2^x)+1)

  17. scusate ragazzi qualcuno sa fare questi studi di funzione: 1) radice quadrata(2x + 1) / e ^(-x)

    2) e^(-x) / radice quadrata(2x + 1)

  18. salve,
    innanzi tutto complimenti per il sito.
    vorrei proporvi questo studio di funzione
    |x^2-|x||*e^|x^2-|x||
    vi ringrazio in anticipo

  19. ciao albert…
    domandina velocissima:) sto facendo questa funzione: (x-4)e^((1)/(x-2))

    ma nn sono sicuro sulla intersezione dell asse y…xche se sostituisco lo 0 alla x viene 4 x infinito no??:((

    grazie mille:) complimenti x il sito!:) spettacolareee!:)

  20. Ciao Giulia,

    f(x)= (x^2 – 1)*e^|x|

    Dominio: D=R

    Intersezioni con gli assi:
    x=0 –> y=-1
    y=0 –> x=-1 , x=1

    Simmetrie: SI, rispetto all’asse y (funzione pari)

    Segno:

    f(x)>0 –> x^2 -1 >0 –> x<-1 V x>1

    Limiti:

    lim per x->+inf di f(x) = +inf

    lim per x->-inf di f(x) = +inf

    lim per x->+inf di f(x)/x = -inf
    lim per x->-inf di f(x)/x = -inf quindi NO asintoti obliqui

    Derivate:

    possiamo considerare x>0 perchè la f è pari (simm rispetto all’asse y). Quindi:

    f(x)= (x^2 – 1)*e^x

    f'(x)= (x^2 +2x -1)*e^x

    f’>0 –> x^2 +2x -1>0
    f’>0 –> x>-1+rad2

    quindi x=-1+rad2 MINIMO, e per simmetria x=-1-rad2 MASSIMO

    f”(x) = (e^x)*(x^2 +4x + 1)

    che per x>0 è sempre positiva e la funzione sempre convessa.

    Qui il grafico:
    http://ow.ly/bCNEe

  21. Salve, ho trovato su internet il vostro sito e mi è davvero piaciuto, è molto chiaro ed esaustivo, complimenti!
    Vorrei sapere però se è possibile avere la risoluzione del seguente studio di funzione: f(x)= (e^|x|) che moltiplica la radice quadrata di x^2 – 1.
    Grazie!!
    Giulia.

  22. Ciao Anonimo,

    f(x) = (x-3)e^(-x)

    Dominio: D=R

    Intersezioni con gli assi:
    x=0 –> y=-3
    y=0 –> x=3

    Simmetrie: NO

    Segno:

    f(x)>0 –> x-3>0 –> x>3

    Limiti:

    lim per x->+inf di f(x) = 0 quindi y=0 asintoto orizzontale

    lim per x->-inf di f(x) = -inf

    lim per x->-inf di f(x)/x = -inf quindi NO asintoti obliqui

    Derivate:

    f'(x) = e^(-x) – (x-3)e^(-x)

    f'(x) = (4-x)e^(-x)

    f’>0 –> x<4 quindi x=4 MASSIMO

    f”(x) = -e^(-x) – (4-x)e^(-x)

    f”(x) = (x-5)e^(-x)

    f”>0 –> x>5 quindi x=5 FLESSO

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