Statistica – Ing. gestionale Polito – Esame 1 – Esercizio 1

Calcolo funzione densità di una trasformazione

Sia \(X\) una variabile casuale gaussiana \(N(2,4)\). Calcolare la legge della variabile trasformata \(Y=\left(\frac{X}{2}-1\right)^2\) e la sua media.

Soluzione

La funzione di densità della variabili casuale normale \(X\) con \(\mu=2\) e \(\sigma^2=4\) è:

\[f_X(x)=\phi(x)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}=\frac{1}{2\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-2}{2}\right)^2}\]

Troviamo la funzione di distribuzione \(F_Y(y)\) della trasformata \(Y\) mediante il metodo grafico e la definizione:

\[F_Y(y)=P(Y\leq y)=P\left(\left(\frac{X}{2}-1\right)^2\leq y\right)\]

Il grafico della trasformazione è una parabola con concavità verso l’alto e vertice in \((2,0)\)

Da ora in poi chiameremo la trasformazione \(Y=g(X)=\left(\frac{X}{2}-1\right)^2\).
Osservando il grafico, poichè la \(g(x)\geq 0\ \forall x\), la \(P(Y\leq y)=0\) per \(y < 0)\), dunque:

\[F_Y(y)=0\ \mbox{per } y<0\]

Per \(y\geq 0\) si ha:

\[\begin{eqnarray*}
F_Y(y) &=& P\left(\left(\frac{X}{2}-1\right)^2\leq y\right)=P\left(\frac{X}{2}-1\leq y^2\right)=\\
&=& P\left(\frac{X}{2}\leq y^2+1\right)=P(X\leq 2y^2+1)=\\
&=& F_X(2y^2+1)=\Phi(2y^2+1)\end{eqnarray*}\]

Riassumendo abbiamo trovato:

\[F_Y(y)=\begin{cases}
0 & \mbox{se } y < 0\\
\Phi(2y^2+1) & \mbox{se } y\geq 0\end{cases}\]

Per verificare che questa sia effettivamente una funzione di ripartizione facciamo uso delle sue proprietà:

  • \(F_Y(-\infty)=0\)
  • \(\frac{d}{dy}F_Y(y)\geq 0\)

Inoltre, calcolando la sua derivata, otteniamo la funzione di densità di \(Y\):

\[\begin{eqnarray*}
F_Y'(y)&=& \Phi'(2y^2+1)=\phi(2y^2+1)\cdot 4y=\\
&=&\frac{1}{2\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{(2y^2+1)-2}{2}\right)^2}\cdot 4y=\\
&=& \frac{2y}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{2y^2-1}{2}\right)^2}\end{eqnarray*}\]

La legge della variabile trasformata è dunque:

\[f_Y(y)=\begin{cases}
0 & \mbox{se } y < 0\\
\frac{2y}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{2y^2-1}{2}\right)^2} & \mbox{se } y\geq 0\end{cases}\]

A cura di Samuel Leanza

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