Test di ipotesi sulla differenza tra due medie

Da un controllo effettuato in aeroporto sul peso in kg del bagaglio individuale per un campione casuale di uomini e per un campione casuale di donne sono stati ottenuti i risultati riportati nella seguente tabella

Ipotizzando normalità per la v.c. considerata, si verifichi se la differenza tra i pesi medi del bagaglio tra i due sessi sia statisticamente significativa (\(\alpha=0.05\)).

Soluzione

Indicando con \(\mu_1\) e \(\mu_2\) le medie delle popolazioni dei pesi rispettivamente degli uomini e delle donne, l’ipotesi nulla \(H_0\) e l’ipotesi alternativa \(H_1\) sono:

\[\begin{cases}
H_0 =\mu_1-\mu_2=0\\
H_1 =\mu_1-\mu_0\neq 0\end{cases}\]

Si tratta di un test bilaterale visto che nell’ipotesi nulla compare il \(\neq\).

Poichè per ipotesi le distribuzioni dei pesi sono normali, indicando con

• \(n_1\) = numerosità degli uomini
• \(n_2\) = numerosità delle donne
• \(\overline{x_1}\) = media campionaria dei pesi degli uomini
• \(\overline{x_2}\) = media campionaria dei pesi delle donne
• \(\sigma_1^2\) = varianza corretta dei pesi degli uomini
• \(\sigma_2^2\) = varianza corretta dei pesi delle donne

la statistica test che utilizziamo per condurre il test ha distribuzione normale standard ed è:

\[Z=\frac{\overline{x_1}-\overline{x_2}}{\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1}+\frac{\sigma_2^2}{n_2}}}=\frac{16.8-18.5}{\sqrt{\frac{3.24}{25}+\frac{5.76}{23}}}=-2.7578\]

Il valore critico che delimita la regione di rifiuto da quella di accettazione al livello di significatività (\(\alpha=0.05\)) per il test bilaterale è:

\[z_{1-\frac{\alpha}{2}}=z_{1-\frac{0.05}{2}}=z_{0.975}=1.96\]

Tale valore si può leggere dalle tavole della distribuzione normale cosi come mostra la figura qui sotto:

Rifiuterò \(H_0\) se \(|Z|>z_{1-\frac{\alpha}{2}}\). Quindi, poichè

\[|Z|= 2.7578>z_{1-\frac{\alpha}{2}}=1.96\]

l’esito del test è “rifiuto \(H_0\)”, ossia i pesi medi dei due sessi sono statisticamente differenti con una probabilità del 97.5%.

A cura di Samuel Leanza