Statistica – Economia Unito – Esame 1 – Esercizio 2

Esercizio 2 (Calcolo combinatorio)
Da un’urna che contiene 12 palline bianche e 14 palline nere, non distinguibili in fase di sorteggio, si estraggono in blocco 5 palline. Indicando con \(S\) lo spazio campionario dei possibili risultati del sorteggio, calcolare:

a) Il numero di elementi di \(S\).
b) Il numero di elementi di \(S\) che contengono 2 palline bianche e le restanti nere.
c) La probabilità di estrarre dall’urna 2 palline bianche.
d) La probabilità di estrarre dall’urna almeno 2 palline bianche.

Soluzione

a) I possibili risultati del sorteggio corrispondono al numero di modi con cui si possono disporre 12+14 palline in 5 posti, ossia le combinazioni con ripetizione di \(n=26\) oggetti in \(k=5\) posti:

\[C_{n,k}={n \choose k}={26 \choose 5}=\frac{26!}{5!\cdot 21!}=\frac{26\cdot \cancel{25}^5\cdot \cancel{24}\cdot 23\cdot 22\cdot \cancel{21!}}{\cancel{5}\cdot \cancel{4}\cdot \cancel{3}\cdot \cancel{2}\cdot\cancel{21!}}=65780\]

b)Il numero di elementi di \(S\) che contengono 2 palline bianche e le restanti (ossia 3) nere, sono dati dal prodotto tra i modi con cui posso estrarre 2 palline bianche tra le 12 e i modi con cui posso estrarre 3 palline nere tra le 14:

\[\begin{eqnarray*}
C_{12,2}\cdot C_{14,3}&=&{12\choose 2}\cdot{14\choose 3}=\frac{12!}{2!\cdot 10!}\cdot\frac{14!}{3!\cdot 11!}=\\
&=&\frac{12\cdot 11\cdot\cancel{10!}}{\cancel{2}\cdot\cancel{10!}}\cdot\frac{14\cdot 13\cdot\cancel{12}^\cancel{2}\cdot\cancel{11!}}{\cancel{6}\cdot \cancel{11!}}=24024\end{eqnarray*}\]

c) La probabilità di estrarre 2 palline bianche è data dal rapporto tra il numero di modi possibili con cui si possono estrarre 2 palline bianche (casi favorevoli calcolati nel punto b)) e il numero di tutte le estrazioni possibili (ovvero gli elementi di \(S\) calcolati nel punto a)):

\[P(c)=\frac{24024}{65780}=0.3652\]

d) Tale probabilità si può calcolare come la somma delle probabilità di estrarre 2, 3, 4 o 5 palline bianche. Analogamente e più semplicemente si può ricorrere all’evento contrario e calcolarla come 1 – la probabilità di estrarre o 0 palline bianche o 1 pallina bianca. Si ha:

\[\begin{eqnarray*}P(0\ bianche)&=&\frac{\mbox{modi di estrarre 5 nere tra le 14}}{\mbox{numero estrazioni possibili}}=\\
&=&\frac{{12\choose 0}\cdot{14\choose 5}}{65780}=\frac{2002}{65780}=0.0304\end{eqnarray*}\]

\[\begin{eqnarray*}P(1\ bianca)&=&\frac{\mbox{modi di estrarre 1 bianca tra le 12}}{\mbox{numero estrazioni possibili}}=\\
&=&\frac{{12\choose 1}\cdot{14\choose 4}}{65780}=\frac{12\cdot 7\cdot 13\cdot 11}{65780}=\frac{12012}{65780}=0.1826\end{eqnarray*}\]

Quindi, infine otteniamo:

\[P(d)=1-P(0\ bianche)-P(1\ bianca)=1-0.0304-0.1826=0.787\]

A cura di Samuel Leanza

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