Statistica – Ing. gestionale Polito – Esame 1 – Esercizio 3

Calcolo probabilità di distribuzioni normali

Due fornitori riforniscono una grande struttura ospedaliera di cateteri il cui diametro deve essere compreso tra 5.45 e 5.55 mm. Il diametro medio dei cateteri del primo fornitore è 5.4908 mm e da un’indagine campionaria è stato rilevato che il 94% dei cateteri, sempre del primo fornitore, ha un diametro maggiore di 5.46 mm. La varianza dei cateteri del secondo fornitore è 0.000478 mm^2 e da un’indagine campionaria è stato rilevato che il 95% dei cateteri, sempre del secondo fornitore, ha un diametro minore di 5.52 mm. Il primo fornitore rifornisce il 70% dei cateteri e il secondo il rimanente 30%. Assumendo che la distribuzione dei diametri sia normale:

a) determinare la percentuale di cateteri ricevuti dalla struttura ospedaliera con diametro compreso tra 5.45 e 5.55 mm;
b) avendo ricevuto una fornitura di 150 cateteri dal primo fornitore ed una di 100 cateteri dal secondo, qual è la probabilità che il diametro medio dei cateteri della fornitura del primo fornitore sia almeno 0.05 mm superiore al diametro medio dei cateteri della fornitura del secondo?

Soluzione

Indichiamo con \(X_1\) e \(X_2\) il diametro dei cateteri prodotti rispettivamente dal primo e dal secondo fornitore. Sappiamo che

  1. \(\mu_{x_1} = 5.4908\)
  2. \(\sigma_{x_2}^2 = 0.000478\)
  3. \(P(X_1 > 5.46)=0.94\)
  4. \(P(X_2 < 5.52)=0.95\)
  5. \(P(X_1)=0.7\)
  6. \(P(X_2)=0.3\)

a) Per prima cosa dobbiamo trovare media e varianza \(\mu_{x_2}\) e \(\sigma_{x_1}^2\) rispettivamente del secondo e primo fornitore sfruttando 3) e 4).

Dalla 3) otteniamo:

\[\begin{align*}
& P(X_1 > 5.46)=0.94\ \Rightarrow\\
&\stackrel{stand.zione}{\Longrightarrow}\ P\left(Z>\frac{5.46-5.4908}{\sigma_{x_1}}\right)=0.94\ \Rightarrow\\
&\Rightarrow \ P\left(Z>-\frac{0.0308}{\sigma_{x_1}}\right)=0.94\ \Rightarrow\\
&\Rightarrow\ P\left(Z < \frac{0.0308}{\sigma_{x_1}}\right)=0.94 \ \Rightarrow\\
&\stackrel{Tav. Normale}{\Longrightarrow} \frac{0.0308}{\sigma_{x_1}}=1.555\ \Rightarrow\\
& \Rightarrow\ \sigma_{x_1}=\frac{0.0308}{1.555}=0.0198 \end{align*}\]

Dalla 4) invece:

\[\begin{align*}
& P(X_2 < 5.52)=0.95\ \Rightarrow\\
&\stackrel{stand.zione}{\Longrightarrow}\ P\left(Z < \frac{5.52-\mu_{x_2}}{\sqrt{0.000478}}\right)=0.95\ \Rightarrow\\
&\stackrel{Tav. Normale}{\Longrightarrow} \frac{5.52-\mu_{x_2}}{\sqrt{0.000478}}=1.645\ \Rightarrow\\
& \Rightarrow\ 5.52-\mu_{x_2}=1.645\cdot \sqrt{0.000478}\ \Rightarrow\\
& \Rightarrow \mu_{x_2}=5.52-1.645\cdot \sqrt{0.000478}=5.484\end{align*}\]

Calcoliamo le probabilità che i diametri dei cateteri prodotti dai due fornitori siano compresi tra 5.45 e 5.55 mm:

\[\begin{eqnarray*}
P(5.45\leq X_1\leq 5.55)&\stackrel{stand.zione}{=}&P\left(\frac{5.45-5.4908}{0.0198}\leq Z\leq \frac{5.55-5.4908}{0.0198}\right)=\\
&=& P(-2.06 \leq Z\leq 2.99)=\\
&=& P(Z\leq 2.99)-P(Z\leq -2.06)=\\
&=& P(Z\leq 2.99)-\left[1-P(Z < 2.06)\right]=\\
&=& 0.9986-1+0.9803=0.9789\end{eqnarray*}\]

\[\begin{eqnarray*}
P(5.45\leq X_2\leq 5.55)&\stackrel{stand.zione}{=}&P\left(\frac{5.45-5.484}{\sqrt{0.000478}}\leq Z\leq \frac{5.55-5.484}{\sqrt{0.000478}}\right)=\\
&=& P(-1.56 \leq Z\leq 3.02)=\\
&=& P(Z\leq 3.02)-P(Z\leq -1.56)=\\
&=& P(Z\leq 3.02)-\left[1-P(Z < 1.56)\right]=\\
&=& 0.9987-1+0.9406=0.9393\end{eqnarray*}\]

Indicato con \(X\) il numero totale di cateteri prodotti, per il teorema della probabilità totale possiamo scrivere

\[\begin{eqnarray*}
P(5.45\leq X\leq 5.55)&=& P(5.45\leq X_1\leq 5.55)\cdot P(X_1)+P(5.45\leq X_2\leq 5.55)\cdot P(X_2)\\
&=&0.9789\cdot 0.7+0.9393\cdot 0.3=0.9670\end{eqnarray*}\]

b)I valori medi dei diametri dei cateteri prodotti dai due fornitori sono rispettivamente:

\[\begin{align*}
\overline{X}_1=\frac{X_1^{(1)}+X_2^{(1)}+\dots +X_{150}^{(1)}}{150}\\
\overline{X}_2=\frac{X_1^{(2)}+X_2^{(2)}+\dots +X_{100}^{(2)}}{100}\end{align*}\]

Sia \(\overline{X}_1\) che \(\overline{X}_2\) sono ancora distribuiti normalmente con i seguenti parametri:

\[\begin{align*}
&\mu_{\overline{x}_1}=\mu_{x_1}=5.4908\\
&\mu_{\overline{x}_2}=\mu_{x_2}=5.484\\
&\sigma_{\overline{x}_1}=\frac{\sigma_{x_1}}{150}=\frac{0.0198}{150}=0.000132\\
&\sigma_{\overline{x}_2}=\frac{\sigma_{x_2}}{100}=\frac{\sqrt{0.000478}}{100}=0.000219\end{align*}\]

La differenza \(Y=\overline{X}_1-\overline{X}_2\) è ancora distribuita normalmente con parametri:

\[\begin{align*}
&\mu_y=\mu_{\overline{x}_1}-\mu_{\overline{x}_1}=5.4908-5.484=0.0068\\
&\sigma_y^2=\sigma_{\overline{x}_1}^2+\sigma_{\overline{x}_2}^2\ \Rightarrow\ \sigma_y=\sqrt{\sigma_{\overline{x}_1}^2+\sigma_{\overline{x}_2}^2}=\sqrt{0.000132^2+0.000219^2}=0.000256\end{align*}\]

Ora è possibile calcolare la probabilità richiesta:

\[P(Y\geq 0.05)\stackrel{stand.zione}{=}P\left(Z\geq\frac{0.05-0.0068}{0.000256}\right)=P(Z\geq 168.75)=0\]

Infatti, la probabilità che viene fuori corrisponde all'area dell'estrema coda destra di una gaussiana standard, per cui è nulla.

A cura di Samuel Leanza

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