Statistica – Economia Unical Cosenza – Esame 1 – Esercizio 3

Test di adattamento per una distribuzione di Poisson

Da una rilevazione sugli incidenti stradali condotta per 65 settimane su un tratto di autostrada si è ottenuta la seguente distribuzione di frequenze:

Si verifichi se la v.c. in questione è una Poisson ad un livello di significatività \(\alpha=0.01\).

Soluzione

Indichiamo con

  • \(X\) la variabile “numero di incidenti”
  • \(n=65\) la numerosità del campione
  • \(k=3\) il numero delle classi

Nota che il numero delle classi è pari a 3 perchè le classi con numero di incidenti =2 e >3 verranno accorpate in un’unica classe.

Dato che la media campionaria è uno stimatore non distorto e consistente, possiamo stimare il parametro \(\lambda\) della distribuzione di Poisson calcolando appunto la media della distribuzione di frequenza data:

\[\lambda=\frac{0\cdot 48+1\cdot 15+2\cdot 2+0\cdot 3}{65}=0.2923\]

Per effettuare il test, dobbiamo calcolare i valori delle frequenze teoriche della variabile \(X\), mediante la distribuzione di Poisson con parametro \(\lambda=0.2923\), ovvero:

\[f_{teorica}=P(X=x)\cdot n=\frac{e^{-\lambda}\cdot \lambda^x}{x!}\cdot n\]

Ad esempio per \(X=0\), ricordando che \(0!=1\), avremo:

\[f_{teorica}=P(X=0)\cdot n=\frac{e^{-0.2923}\cdot 0.2923^0}{0!}\cdot 65=48.5250\]

In sintesi riportiamo i calcoli effettuati nella seguente tabella:

Poichè, per condurre correttamente il test è necessario che tutte le frequenze teoriche siano maggiori o uguali a 5, è necessario accorpare la terza modalità con la seconda in una nuova classe che avrà frequenza osservata pari a 17 e frequenza teorica pari a $16.2573$.

Essendo un test chi-quadro di adattamento, le ipotesi da verificare sono:

\[\begin{cases}
H_0: \mbox{I dati si adattano alla distribuzione teorica}\\
H_1: \mbox{I dati non si adattano alla distribuzione teorica}\end{cases}\]

e la statistica test da utilizzare sarà una \(\chi^2\) (Chi-quadro o Chi- quadrato) con \(k-1-m=1\) gradi di libertà (dove \(m=1\) è il numero di parametri della distribuzione stimati dai dati):

\[\begin{eqnarray*}
\chi^2 &=& \sum_{i=1}^k\frac{(f_{teor_i}-f_{oss_i})^2}{f_{teor_i}}\\
&=& \frac{(48.5250-48)^2}{48.5250}+\frac{(16.2573-17)^2}{16.2573}=0.0396\end{eqnarray*}\]

Il valore critico al livello \(\alpha=0.01\) è:

\[\chi_{\alpha,k-1-m}^2=\chi_{0.01,1}^2=6.635\]

come mostra l’immagine di seguito:

Poichè \(\chi^2=0.0396 < \chi_{0.01,1}^2= 6.635 \), non possiamo rifiutare \(H_0\), per cui diciamo che i dati provengono da una distribuzione di Poisson.

A cura di Samuel Leanza

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