Statistica – Ing. gestionale Polito – Esame 1 – Esercizio 4

Calcolo probabilità di una distribuzione ipergeometrica

Un sacchetto contiene 10 palline bianche e 5 palline rosse. Una persona estrae 5 palline a caso, ogni volta senza reinserire la pallina estratta nel sacchetto. Quanto vale la probabilità di pescare almeno 3 palline rosse?

Soluzione

Indichiamo con

  • \(X\) numero di palline rosse estratte
  • \(M=15\) popolazione totale delle palline
  • \(n=5\) numero palline estratte dalla popolazione senza reimmissione
  • \(k=5\) numero totale palline rosse

Possiamo dire che \(X\) ha distribuzione ipergeometrica di parametri \(M, n, k\) (in simboli \(X\sim H(M,n,k)\)) e la formula per il calcolo della generica probabilità che \(X\) assume un certo valore \(h\) è:

\[P(X=h)=\frac{{k\choose h}\cdot {M-k\choose n-h}}{{M\choose n}}=\frac{{5\choose h}\cdot {10\choose 5-h}}{{15\choose 5}}\]

La probabilità richiesta è \(P(X\geq 3)\), che, per comodità computazionale si può riscrivere mediante la probabilità dell’evento contrario \(X < 3\):

\[\begin{eqnarray*}
P(X\geq 3) &=& 1-P(X < 3)=1-[P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)]=\\
&=& 1-\left[\frac{{5\choose 0}\cdot {10\choose 5}}{{15\choose 5}}+\frac{{5\choose 1}\cdot {10\choose 4}}{{15\choose 5}}+\frac{{5\choose 2}\cdot {10\choose 3}}{{15\choose 5}}\right]=\\
&=& 1-\frac{1\cdot \frac{10!}{5!5!}+5\cdot \frac{10!}{4!6!}+\frac{5!}{2!3!}\cdot \frac{10!}{3!7!}}{\frac{15!}{5!10!}}=\\
&=& 1-\left(\frac{\cancel{10}\cdot\cancel{9}^3\cdot\cancel{8}^2\cdot 7\cdot 6\cdot \cancel{5!}}{\cancel{5!}\cdot\cancel{5}\cdot\cancel{4}\cdot\cancel{3}\cdot\cancel{2}}+5\cdot \frac{10\cdot\cancel{9}^3\cdot\cancel{8}\cdot 7\cdot \cancel{6!}}{\cancel{4}\cdot\cancel{3}\cdot\cancel{2}\cdot\cancel{6!}}+\frac{5\cdot\cancel{4}\cdot\cancel{3!}}{\cancel{2}\cdot\cancel{3!}}\cdot \frac{10\cdot \cancel{9}^2\cdot 8\cdot \cancel{7!}}{\cancel{3}\cdot\cancel{2}\cdot\cancel{7!}}\right)\cdot\frac{\cancel{5}\cdot\cancel{4}\cdot\cancel{3}\cdot \cancel{2}\cdot\cancel{10!}}{\cancel{15}\cdot\cancel{14}_7\cdot 13\cdot\cancel{12}_3\cdot 11\cdot\cancel{10!}}\\
&=& 1-(252+1050+800)\frac{1}{3003}=0.3\end{eqnarray*}\]

A cura di Samuel Leanza

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