Statistica – Economia Unito – Esame 1 – Esercizio 5

Calcolo probabilità di una v.a. normale
Una variabile casuale \(X\) ha distribuzione normale con media 0.27 e varianza 6.73. Calcolare le probabilità per gli intervalli indicati:
a) \(P(-6.46 < X < 7)\);
b) \(P(X < 1.27)\);
c) \(P(X > -1.73)\);

Soluzione

a) Per le proprietà della funzione di ripartizione di una variabile aleatoria \(X\), si ha che

\[P(a < X < b)=P(X < b)-P(X < a)\]

Applicando tale proprietà al nostro caso otteniamo:

\[P(-6.46 < X < 7)=P(X < 7)-P(X < -6.46)\]

Poichè tali probabilità vanno calcolate mediante l’uso della tavola della distribuzione normale standard \(N(0,1)\), è necessario dapprima standardizzare la variabile \(X\) mediante la formula di standardizzazione:

\[Z=\frac{X-\mu_x}{\sigma_x}\]

dove \(\mu_x\) e \(\sigma_x\) sono rispettivamente media e deviazione standard di \(X\). Dunque, calcoliamo le 2 probabilità separatamente:

\[\begin{eqnarray*}
P(X < 7)&=&P\left(Z < \frac{7-0.27}{\sqrt{6.73}}\right)=P(Z < 2.59)=0.9952\\
P(X < -6.46) &=& P\left((Z < \frac{-6.46-0.27}{\sqrt{6.73}}\right)=P(Z < -2.59)\end{eqnarray*}\]

La prima probabilità è stata calcolata andando a ricercare sulla tavola il valore di probabilità corrispondente a \(z=2.59\) come mostra la figura sottostante:

La seconda probabilità non può essere calcolata direttamente perchè sulla tavola non sono tabulati i valori delle probabilità corrispondenti a valori \(z\) negativi. Questo perchè si possono sfruttare le proprietà di simmetria della distribuzione normale:

\[P(Z < -2.59)=P(Z > -2.59)=1-P(Z\leq 2.59)=1-0.9952=0.0048\]

In definitiva si ha:

\[P(-6.46 < X < 7)=0.9952-0.0048=0.9904\]

b) Banalmente, andando a guardare le tavole come fatto nel punto a) si ottiene:

\[P(X < 1.27)=P\left(Z < \frac{1.27-0.27}{\sqrt{6.73}}\right)=P(Z < 0.39)=0.6517\]

c) Sempre grazie alla simmetria della curva di Gauss si ha:

\[P(X > -1.73)=P\left(Z < \frac{-1.73-0.27}{\sqrt{6.73}}\right)=P(Z > -0.77)=P(Z < 0.77)=0.7794\]

Molto spesso per indicare la funzione di ripartizione di una normale si usa il simbolo \(\Phi\). Quindi, per esempio al posto di \(P(Z < 0.39)\) troveremo \(\Phi(0.39)\).

A cura di Samuel Leanza

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