Statistica – Ing. gestionale Polito – Esame 2 – Esercizio 1

Calcolo probabilità di un processo di Poisson

In una certa regione, i terremoti di tipo sussultorio (S) e di tipo ondulatorio (O) si susseguono secondo un processo di Poisson; il numero medio di terremoti S all’anno è pari a 5 e il numero medio di terremoti O ogni 5 anni è pari a 15.
a) Qual è la probabilità che vi siano almeno 2 terremoti S nella prima metà del 2010?
b) Assumendo che nella prima metà di un anno vi siano stati 2 terremoti, qual è la probabilità che siano entrambi di tipo S?
c) Assumendo che via siano stati almeno 2 terremoti nella prima metà del 2010, qual è la probabilità che nella seconda metà ve ne siano 2?

Soluzione

a) Scriviamo i dati del problema:

  • \(X_s=\) n° di terremoti S in un anno
  • \(E(X_s)=\lambda_s=5\) n° medio di terremoti S in un anno
  • \(X_o=\) n° di terremoti O in un anno
  • \(E(X_o)=\lambda_o=\frac{15}{5}=3\) n° medio di terremoti O in un anno

Ricordando che la massa di probabilità di una variabile \(X\) con distribuzione di Poisson di parametro \(\lambda\) è

\[P(X=x)=\frac{e^{-\lambda}\cdot\lambda^x}{x!}\]

e che la probabilità richiesta è \(P(X_s\geq 2)\) con \(\lambda=\frac{\lambda_s}{2}=\frac{5}{2}=2.5\), si ha:

\[\begin{eqnarray*}
P(X_s\geq 2)&=& 1-P(X_s < 2)=\\
&=&1-[P(X_s=0)+P(X_s=1)]=\\
&=&1-\left[\frac{e^{-2.5}\cdot 2.5^0}{0!}+\frac{e^{-2.5}\cdot 2.5^1}{1!}\right]=0.7127\end{eqnarray*}
\]

b) Indicando con \(X=X_s+X_o\) la somma totale dei terremoti avvenuti in un anno, si ha che \(X\sim P(\lambda_s+\lambda_o)\) ossia \(X\sim P(8)\), bisogna calcolare la probabilità che nella prima metà dell'anno non vi siano stati terremoti di tipo O condizionato al fatto che in totale ce ne siano stati 2:

\[\begin{eqnarray*}
P(X_o=0|X=2)&\stackrel{Bayes}{=}&\frac{P(X_o=0\cap X=2)}{P(X=2)}=\frac{P(X_o=0)\cdot P(X_s=2)}{P(X=2)}=\\
&=&\frac{\frac{e^{-1.5}\cdot 1.5^0}{0!}\cdot\frac{e^{-2.5}\cdot 2.5^2}{\cancel{2!}}}{\frac{e^{-4}\cdot 4^2}{\cancel{2!}}}=\frac{e^{-1.5}\cdot e^{-2.5}\cdot e^4\cdot 6.25}{16}=0.3906\end{eqnarray*}\]

c) Dato che il numero di terremoti accaduti nella prima metà dell'anno non condiziona il numero di terremoti che accadranno nella seconda metà dell'anno, si ha:

\[\begin{eqnarray*}
P(X=2|X\geq 2)&=& P(X=2)=\frac{e^{-4}\cdot 4^2}{2!}\\
&=&e^{-4}\cdot 8=0.1465\end{eqnarray*}\]

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