Statistica – Ing. gestionale Polito – Esame 2 – Esercizio 2

Probabilità di variabile Uniforme continua ed esponenziale

La variabile casuale X segue una distribuzione uniforme tra \(1/8-a\) e \(1/8+a\), con \(a\) costante incognita; la variabile casuale \(Y\) segue una distribuzione esponenziale con parametro uguale ad 8.
a) Calcolare, in funzione di \(a\), \(P[(1-\sqrt{2})/8 < X\leq (1+\sqrt{2})/8]\) e \(P[(1-\sqrt{2})/8 < Y\leq (1+\sqrt{2})/8]\).
b) Calcolare per quale valore di \(a\) le due variabili hanno la stessa media e la stessa varianza.

Soluzione

Una variabile aleatoria \(X\) con distribuzione uniforme in un intervallo \((a,b)\) è tale che la probabilità che il valore di \(X\) stia in un qualunque intervallo \((a’,b’)\) è:

\[\begin{eqnarray*}
P(a’\leq X\leq b’)&=&
\begin{cases}
\frac{Ampiezza(a’,b’)}{Ampiezza(a,b)}& \mbox{se } (a’,b’)\subseteq (a,b)\\
\frac{Ampiezza((a’,b’)\cap (a,b))}{Ampiezza(a,b)}& \mbox{se } (a’,b’)\not\subseteq (a,b)\end{cases}=\\
&=&\begin{cases}
\frac{b’-a’}{b-a} & \mbox{se } (a’,b’)\subseteq (a,b)\\
\frac{Ampiezza((a’,b’)\cap (a,b))}{Ampiezza(a,b)}& \mbox{se } (a’,b’)\not\subseteq (a,b)\end{cases}\end{eqnarray*}\]

Nel caso in cui

\[\left]\frac{1-\sqrt{2}}{8}, \frac{1+\sqrt{2}}{8}\right]\subseteq\left[\frac{1}{8}-a,\frac{1}{8}+a\right]\]

ossia

\[\begin{cases}
\frac{1-\sqrt{2}}{8} > \frac{1}{8}-a\\
\frac{1+\sqrt{2}}{8}\leq\frac{1}{8}+a\end{cases}\ \Rightarrow\
\begin{cases}
\frac{\cancel{1}-\sqrt{2}}{\cancel{8}} > \frac{\cancel{1}-8a}{\cancel{8}}\\
\frac{\cancel{1}+\sqrt{2}}{\cancel{8}}\leq\frac{\cancel{1}+8a}{\cancel{8}}\end{cases}\ \Rightarrow\
\begin{cases}
a > \frac{\sqrt{2}}{8}\\
a \geq \frac{\sqrt{2}}{8}\end{cases}\ \Rightarrow\ a > \frac{\sqrt{2}}{8}\]

la probabilità richiesta è

\[P\left(\frac{1-\sqrt{2}}{8}\leq X\leq \frac{1+\sqrt{2}}{8}\right)=\frac{\frac{1+\sqrt{2}}{8}-\frac{1-\sqrt{2}}{8}}{\cancel{\frac{1}{8}}+a-\cancel{\frac{1}{8}}+a}=\frac{\frac{\cancel{2}\sqrt{2}}{8}}{\cancel{2}a}=\frac{\sqrt{2}}{8a}\]

Invece, per \(a \leq \frac{\sqrt{2}}{8}\) la precedente probabilità vale 1 dato che l’ampiezza dell’intervallo al numeratore è uguale a quella dell’intervallo al denominatore.

Per quanto riguarda la seconda probabilità, poichè \(Y\) ha distribuzione esponenziale di parametro \(\lambda=8\) si ha che

\[P(a\leq Y\leq b)=P(Y\leq b)-P(Y\leq a)\]

essendo \(P(Y\leq y)\) la sua funzione di distribuzione cumulata pari a:

\[P(Y\leq y)=
\begin{cases}
1-e^{-\lambda} & \mbox{se } y\geq 0\\
0 & \mbox{se } y < 0\end{cases}\]

In virtù di quanto appena detto otteniamo

\[\begin{eqnarray*}
P\left(\frac{1-\sqrt{2}}{8} < Y < \frac{1+\sqrt{2}}{8}\right)&=&P\left(Y < \frac{1+\sqrt{2}}{8}\right)-\underbrace{P\left(Y < \frac{1-\sqrt{2}}{8}\right)}_{=0}=\\
&=&1-e^{-\cancel{8}\cdot\frac{1+\sqrt{2}}{\cancel{8}}}=0.9106\end{eqnarray*}\]

b)Sapendo che il valore medio e la varianza di una variabile \(X\) con distribuzione uniforme in \((a,b)\) sono

\[\begin{align*}
E(X)&=\frac{a+b}{2}\\
Var(X)&=\frac{(b-a)^2}{12}\end{align*}\]

e che valore medio e varianza di una variabile \(Y\) esponenziale con parametro \(\lambda\) sono

\[\begin{align*}
E(X)&=\frac{1}{\lambda}\\
Var(X)&=\frac{1}{\lambda^2}\end{align*}\]

si ha:

\[
E(X)=E(Y)\ \Leftrightarrow\ \frac{\frac{1}{8}-\cancel{a}+\frac{1}{8}+\cancel{a}}{2}=\frac{1}{8} \ \Leftrightarrow\ \frac{1}{8}=\frac{1}{8}\]

\[Var(X)=Var(Y)\ \Leftrightarrow\ \frac{\cancel{\frac{1}{8}}+a\cancel{-\frac{1}{8}}+a}{12}=\frac{1}{64}\ \Leftrightarrow\ a=\frac{3}{32} \]

A cura di Samuel Leanza

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