Statistica – Ing. gestionale Polito – Esame 2 – Esercizio 3

Probabilità ricezione messaggio in un canale binario

Si consideri il canale binario simmetrico in figura:

Si trasmettono i caratteri equiprobabili \(a, b\) e \(c\) codificati rispettivamente con 11, 01 e 10. Se si riceve 00 si richiede la ritrasmissione.
a) Qual è la probabilità di rifiutare la prima trasmissione?
b) Qual è la probabilità di dover ritrasmettere almeno una volta?
c) Sapendo che è stato trasmesso il carattere \(a\), calcolare la probabilità che venga ricevuto correttamente.

Soluzione

a) Indicando con

  • \(P(a)=P(b)=P(c)=\frac{1}{3}=\)probabilità di invio di un carattere qualsiasi,
  • \(P(00)=\)probabilità di ricevere 00
  • \(P(00|a)=\)probabilità di dover ritrasmettere dato che è stato inviato a,
  • \(P(00|b)=\)probabilità di dover ritrasmettere dato che è stato inviato b,
  • \(P(00|c)=\)probabilità di dover ritrasmettere dato che è stato inviato c,

dalla figura si evince che:

  • \(P(00|a)=p\cdot p=p^2\)
  • \(P(00|b)=(1-p)\cdot p=p-p^2\)
  • \(P(00|c)=p\cdot (1-p)=p-p^2\)

Allora, la probabilità di rifiutare la prima trasmissione, ossia la probabilità totale \(P(00)\) sarà:

\[\begin{eqnarray*}
P(00)&=&P(00|a)\cdot P(a)+P(00|b)\cdot P(b)+P(00|c)\cdot P(c)=\\
&=& \frac{1}{3}(\cancel{p^2}+p-p^2+p\cancel{-p^2})=\frac{1}{3}(2p-p^2)\end{eqnarray*}\]

b) La probabilità di dover ritrasmettere almeno 1 volta coincide con 1 – la probabilità di non dover mai ritrasmettere, ovvero:

\[1-[P(a|a)+P(b|b)+P(c|c)]=1-[(1-p)^2+(1-p)^2+(1-p)^2]=1-3(1-p)^2\]

c) Banalmente si ha:

\[P(a|a)=(1-p)^2\]

A cura di Samuel Leanza

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