Statistica – Ing. gestionale Polito – Esame 2 – Esercizio 4

Calcolo distribuzione di una variabile uniforme trasformata

Si consideri la variabile casuale \(X\) avente distribuzione uniforme (continua) sull’intervallo (0,1). Calcolare la distribuzione della variabile casuale \(Y=-ln(1-X)\) e riconoscerla.

Soluzione

La funzione \(g(x)=-ln(1-x)\) ha il seguente grafico:

Ricordiamo inoltre, che la funzione di ripartizione di una variabile aleatoria uniforme in \((a,b)\)é

\[F_X(x)=P(X\leq x)=
\begin{cases}
0 & \mbox{se } x\leq a\\
\frac{x-a}{b-a} & \mbox{se } a < x < b\\
1 & \mbox{se } x\geq b\end{cases}\]

Troviamo la funzione di ripartizione \(F_Y(y)\) di \(Y\) mediante la definizione:

\[\begin{eqnarray*}
F_Y(y)&=&P(Y\leq y)=\\
&=&P(-ln(1-X)\leq y)=\\
&=&P(ln(1-X)\geq -y)=\\
&=&P(1-X\geq e^{-y})=\\
&=&P(X\leq 1-e^{-y})\end{eqnarray*}\]

Quest’ultima probabilità equivale alla funzione di distribuzione cumulata della \(X\) calcolata in \(1-e^{-y}\):

per \(1-e^{-y}\leq 0\ \rightarrow\ e^{-y}\geq 1\ \rightarrow\ -y\geq 0\ \rightarrow\ y < 0\),

\[F_Y(y)=P(X\leq 1-e^{-y})=0\]

Per \(0 < 1-e^{-y} 0\)

\[F_Y(y)=P(X\leq 1-e^{-y})=\frac{1-e^{-y}-0}{1-0}=1-e^{-y}\]

Riassumendo, la funzione di distribuzione di \(Y\) è:

\[F_Y(y)=
\begin{cases}
0 & \mbox{se } y\leq 0\\
1-e^{-y} & \mbox{se } y > 0\end{cases}\]

la quale rappresenta la funzione di ripartizione di una variabile aleatoria esponenziale con parametro \(\lambda=1\).

A cura di Samuel Leanza

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