Statistica – Ing. gestionale Polito – Esame 3 – Esercizio 4

Esercizio 4
Il numero medio di persone che effettuano un acquisto in un negozio di abbigliamento sportivo è di 1 ogni tre quarti d’ora. Assumendo che il numero di persone che effettuano un acquisto sia modellizzato con un processo di Poisson nel tempo, calcolare la probabilità:

  1. che nel pomeriggio del 21 marzo 2012 (ore 15.30-20) il numero delle persone che effettuano un acquisto sia al più uguale a cinque;
  2. che trascorra più di mezz’ora tra la rilevazione di due acquisti fatte da due persone diverse

Soluzione

1) Indichiamo con X il numero di persone che effettuano un acquisto. Indicando con t=0.75 ore (3 quarti d’ora) l’intervallo di tempo si ha:
\(\alpha t=1\quad\Rightarrow \alpha=\frac{1}{0.75}=1.3333\)
Il numero medio di acquisti effettuati tra le ore 15.30 e le 20.00, ossia in t=4.5 ore è dato da

\(\lambda=\alpha t=1.3333\cdot 4.5=6\)
Quindi X è un processo di Poisson con parametro \(\lambda=\alpha t=6\).
La probabilità richiesta è:
\(\begin{eqnarray}
P(X\leq 5)&=& P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)=\\
&=&\frac{e^{-6}6^0}{0!}+\frac{e^{-6}6^1}{1!}+\frac{e^{-6}6^2}{2!}+\frac{e^{-6}6^3}{3!}+\frac{e^{-6}6^4}{4!}+\frac{e^{-6}6^5}{5!}=\\
&=& 0.4457\end{eqnarray}\)

2) Indicato con T il tempo trascorso tra un acquisto e il successivo, si ha che T ha distribuzione esponenziale con parametro \(\lambda=\alpha=1.3333\).
La probabilità richiesta è:
\(P(T > 0.5)=e^{\alpha\cdot 0.5}=e^{-1.3333\cdot 0.5}=0.5134\)

A cura di Samuel Leanza

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