Statistica – Ing. gestionale Polito – Esame 3 – Esercizio 5

Proprietà degli stimatori
Si considerino i tre stimatori della media \(\mu\) per campioni di dimensione n di una variabile casuale X con distribuzione normale di varianza 2:
\(T_1=\frac{X_1 +\dots +X_n}{n};\quad T_2=\frac{X_1 +X_2}{2};\quad T_3=\frac{X_1 +\dots +X_n}{2n}\)
Dire quali sono non distorti e quali, fra i non distorti, sono consistenti.

Soluzione

Uno stimatore T del parametro \(\theta\) è non distorto se \(E(T)=\theta\)
Verifichiamo tale definizione per ognuno degli stimatori applicando le note proprietà del valore atteso.

\(\begin{eqnarray}
E(T_1)&=& E\left(\frac{X_1 +\dots +X_n}{n}\right)=\\
&=&\frac{1}{n}\left(E(X_1)+\dots +E(X_n)\right)=\\
&=&\frac{1}{n}\cdot n\cdot\mu=\mu\end{eqnarray}\)

\(T_1\) è non distorto

\(\begin{eqnarray}
E(T_2)&=& E\left(\frac{X_1+X_2}{2}\right)=\\
&=&\frac{1}{2}\left(E(X_1)+E(X_2)\right)=\\
&=&\frac{1}{2}\cdot 2\cdot\mu=\mu\end{eqnarray}\)

\(T_2\) è non distorto

\(\begin{eqnarray}
E(T_3)&=& E\left(\frac{X_1 +\dots +X_n}{2n}\right)=\\
&=&\frac{1}{2n}\left(E(X_1)+\dots +E(X_n)\right)=\\
&=&\frac{1}{2n}\cdot n\cdot\mu=\frac{\mu}{2}\end{eqnarray}\)

\(T_3\) è distorto

Uno stimatore si dice consistente se
\(\lim\limits_{n\rightarrow\infty}MSE(T)=0\)

dove MSE è l’errore quadratico medio che per uno stimatore non distorto coincide con la sua varianza.
Quindi, calcoliamo gli MSE di \(T_1\) e \(T_2\) considerando l’ipotesi di indipendenza tra i campioni \(X_i\) e applicando le proprietà della varianza.

\(\begin{eqnarray}
MSE(T_1)&=& VAR(T_1)= VAR\left(\frac{X_1 +\dots +X_n}{n}\right)=\\
&=&\frac{1}{n^2}\left(VAR(X_1)+\dots +VAR(X_n)\right)=\\
&=&\frac{1}{n^2}\cdot n\cdot VAR(X)=\frac{2}{n}\end{eqnarray}\)

\(\begin{eqnarray}
MSE(T_2)&=& VAR(T_2)= VAR\left(\frac{X_1+X_2}{2}\right)=\\
&=&\frac{1}{4}\left(VAR(X_1)+VAR(X_2)\right)=\\
&=&\frac{1}{4}\cdot 2\cdot VAR(X)=1\end{eqnarray}\)

Poichè
\(\lim\limits_{n\rightarrow\infty}MSE(T_1)=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{2}{n}=0\)
\(\lim\limits_{n\rightarrow\infty}MSE(T_2)=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}1=1\)

lo stimatore \(T_1\) risulta consistente.

A cura di Samuel Leanza

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