Statistica – Ing. gestionale Polito – Testo del tema d’esame 3

Esercizio 1
Un’azienda di componenti elettronici produce chip che sono difettosi con probabilità 0.01, indipendentemente l’uno dall’altro. QUesti chip vengono poi venduti in confezioni da 10 pezzi, con la garanzia di rimborso nel caso vi sia più di un pezzo difettoso.

  1. Che percentuale delle confezioni viene ritornata?
  2. Se si comprano tre confezioni, qual è la probabilità di ritornarne esattamente una?

Esercizio 2
Sia data la variabile casuale X con distribuzione uniforme sull’intervallo [-3,1]. Calcolare la distribuzione e la media della variabile Y=g(x) con g definita come
\[g(x)=\begin{cases}
2x+3 & x\leq -1\\
-x & x > -1\end{cases}\]

Esercizio 3
Si consideri la disciplina lancio del peso. In prima approssimazione, la distanza a cui un atleta (maschio) che partecipa alle olimpiadi lancia può essere rappresentata con una variabile casuale con distribuzione uniforme sull’intervallo (20,25) metri. Il puntessio ad ogni tiro viene assegnato secondo queste modalità: vengono assegnati 10 punti se il peso cade tra 24 e 25 metri, 5 punti tra 23 e 24, 2 punti se case tra 21.5 e 23 metri e 0 punti se cade tra 20 e 21.5 metri.

  1. Qual è la funzione di densità della variabile associata al numero di punti?
  2. Qual è il valore atteso del numero di punti?
  3. Qual è la probabilità che nessuno dei 7 atleti di una certa nazione raggiunga il punteggio massimo (10 punti) in un singolo lancio?

Esercizio 4
Il numero medio di persone che effettuano un acquisto in un negozio di abbigliamento sportivo è di 1 ogni tre quarti d’ora. Assumendo che il numero di persone che effettuano un acquisto sia modellizzato con un processo di Poisson nel tempo, calcolare la probabilità:

  1. che nel pomeriggio del 21 marzo 2012 (ore 15.30-20) il numero delle persone che effettuano un acquisto sia al più uguale a cinque;
  2. che trascorra più di mezz’ora tra la rilevazione di due acquisti fatte da due persone diverse

Esercizio 5
Si considerino i tre stimatori della media \(\mu\) per campioni di dimensione n di una variabile casuale X con distribuzione normale di varianza 2:
\(T_1=\frac{X_1 +\dots +X_n}{n};\quad T_2=\frac{X_1 +X_2}{2};\quad T_3=\frac{X_1 +\dots +X_n}{2n}\)
Dire quali sono non distorti e quali, fra i non distorti, sono consistenti.

A cura di Samuel Leanza

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