Paniere domande Ingegneria Ecampus – Domanda 5

Calcolo probabilità mediante combinazioni semplici

Quanto vale la probabilità di avere una coppia servita alla prima mano in una partita a poker?

  1. circa 0.1
  2. circa 0.04
  3. circa 0.42
  4. circa 0.01

Soluzione

Anche in questo caso la probabilità va calcolata mediante la definizione classica (casi favorevoli fratto casi possibili).
Nel caso che i giocatori siano 4, il mazzo da poker contiene 32 carte, 8 valori (7,8,9,10,J,Q,K,A) e 4 seme (cuori, quadri, fiori e picche). Inoltre, ad ogni giocatore vengono distribuite 5 carte.
Dunque, i casi possibili sono banalmente tutte le combinazioni senza ripetizione che posso ottenere con 32 carte (oggetti) disponendole in 5 posti, ossia

\[C_{32,5}=\frac{32!}{27!*5!}=201376\]

Analizziamo i casi favorevoli guardando l’immagine qui in basso.

Per ottenere una coppia ho bisogno di due carte con lo stesso valore e altre 3 con valori tutti diversi tra loro.
La prima carta puo essere scelta in 32 modi, mentre la seconda in 3 modi (in modo tale da avere due carte con lo stesso valore). Inoltre, poiche’ l’ordine non conta, il numero di modi con cui posso scegliere le prime due carte e’ dato da 32*3/2=48.
La terza carta puo’ essere scelta tra i 7 valori rimasti e quindi in 7*4=28 modi; la quarta carta in 6*4=24 modi e la quinta in 5*4=20 modi. Poiche’ l’ordine non e’ importante, il numero totale di modi con cui posso scegliere le ultime 3 carte e’ 28*24*20/3!=2240.

In definitiva otteniamo:

\[\begin{eqnarray*}
p &=& \frac{48*2240}{C_{32,5}}=\\
&=& \frac{107520}{201376}=0.53\end{eqnarray*}\]

La risposta corretta non e’ presente tra quelle indicate probabilmente perche’ il prof ha considerato un mazzo formato da un numero di carte diverso.

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