Quesito 7 – Testo e soluzione – Maturità 2010 Liceo scientifico

Testo Per quale o quali valori di k la funzione \[ \left\{ \begin{array}{c} 3x^{2}-11x-4,\; x\leq4\\ kx^{2}-2x-1,\; x>4 \end{array}\right. \] è continua in x=4? Soluzione Le due equazioni che dividono la funzione includono tutto l’insieme dei numeri reali e la funzione è continua a tratti, la richiesta di continuità implica che i due limiti delle due […]

Quesito 6 – Testo e soluzione – Maturità 2010 Liceo scientifico

Testo Si determini il dominio della funzione \[ f\left(x\right)=\sqrt{\cos x} \] Soluzione Il dominio di f(x) si ricava ponendo l’esistenza della radice quadrata \[ \cos x\geq0\rightarrow x\geq-\frac{\pi}{2}+2k\pi\:\wedge\: x\leq\frac{\pi}{2}+2k\pi \] Questa appena trovata non è solo la condizione d’esistenza della radice quadrata, ma è anche il dominio della funzione intera.  

Quesito 5 – Testo e soluzione – Maturità 2010 Liceo scientifico

Testo Un serbatoio ha la stessa capacità del massimo cono circolare retto di apotema 80 cm. Qual è la capacità in litri del serbatoio? Soluzione Pongo V come vertice del cono circolare retto di massimo volume, H piede della sua altezza e A punto qualsiasi della circonferenza di base. L’apotema misura VA=80cm mentre l’altezza è […]

Quesito 4 – Testo e soluzione – Maturità 2010 Liceo scientifico

Testo Si calcoli: \[ \lim_{x\rightarrow\infty}4x\sin\frac{1}{x} \] Soluzione Il limite dato porta ad una forma d’indeterminazione: \[ \lim_{x\rightarrow\infty}4x\sin\frac{1}{x}=\infty\cdot0 \] Riscrivo la funzione nel modo seguente: \[ 4x\sin\frac{1}{x}=4\frac{\sin\left(\frac{1}{x}\right)}{\frac{1}{x}} \] Sostituisco: \[ t=\frac{1}{x}\rightarrow\lim_{t\rightarrow0}4\frac{\sin t}{t}=4\rightarrow\lim_{x\rightarrow\infty}4x\sin\frac{1}{x}=4 \]  

Quesito 1 – Testo e soluzione – Maturità 2010 Liceo scientifico

Testo Sia p(x) un polinomio di grado n. Si dimostri che la sua derivata n-esima è: \[ p^{(n)}(x)=n!a_{n} \] dove \[ a_{n} \] è il coefficiente di \[ x^{n} \] Soluzione Questo è il polinomio di grado n: \[ p\left(x\right)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+..a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=\sum_{i=0}^{n}a_{i}x^{i} \] La derivata prima è: \[ p^{‘}\left(x\right)=n\cdot a_{n-1}x^{n-1}+\left(n-1\right)a_{n-1}x^{n-2}+..+a_{2}x+a_{1}=\sum_{i=1}^{n}ia_{i}x^{i-1} \] La derivata seconda è: \[ p^{”}\left(x\right)=n\cdot\left(n-1\right)\cdot […]