Quesito 6 – Testo e soluzione – Maturità 2009 scientifico PNI

TestoCon l’aiuto di una calcolatrice, si applichi il procedimento iterativo di Newton all’equazione \[ \sin x=0 \] con punto iniziale pari a 3. Cosa si ottiene dopo due iterazioni?Soluzione Il procedimento di Newton consiste nell’applicare la formula seguente per trovare una successione di punti x: \[ x_{n+1}=x_{n}-\frac{f\left(x_{n}\right)}{f’\left(x_{n}\right)} \] partendo dal punto 3 ottengo dopo due […]

Quesito 6 – Testo e soluzione – Maturità 2009 Liceo scientifico

Testo Si calcoli il seguente: \[ \lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{\sqrt{x^{2}+1}}{x} \] Soluzione Il limite dato ricade in una forma di indeterminazione del tipo \[ \frac{\infty}{\infty} \] cerco quindi di scrivere la funzione ad argomento del limite fattorizzando uno dei termini sotto la radice: \[ \lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{\sqrt{x^{2}+1}}{x}=\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{\sqrt{x^{2}\left(1+\frac{1}{x^{2}}\right)}}{x}=\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{|x|}{x}\sqrt{1+\frac{1}{x^{2}}} \] Posso togliere il valore assoluto considerando che il limite è per valori […]

Problema 1 – Testo e soluzione – Maturità 2009 scientifico PNI

Testo Sia f la funzione definita da \[ f\left(x\right)=\left(1+x+\frac{x^{2}}{2!}+…+\frac{x^{2}}{n!}\right)e^{-x} \] dove n è un intero positivo e x appartiene all’insieme dei numeri reali. 1) Si verifichi che la derivata di f(x) è \[ f^{‘}\left(x\right)=-\frac{x^{2}}{n!}e^{-x} \] 2) Si dica se la funzione f ammette massimi e minimi (assoluti e relativi) e si provi che, quando n […]

Quesito 5 – Testo e soluzione – Maturità 2009 Liceo scientifico

Testo Si considerino le seguenti espressioni: \[ \frac{0}{1};\frac{0}{0};\frac{1}{0};0^{0} \] A quali di esse si può attribuire un valore numerico? Si motivi la risposta. Soluzione Posto \[ \alpha=\frac{0}{1} \] la definizione di quoziente implica che debba rappresentare quel numero tale che sia \[ \alpha\cdot1=0\rightarrow\alpha=0 \] e questa uguaglianza è soddisfatta unicamente da 0. La prima scrittura […]

Quesito 4 – Testo e soluzione – Maturità 2009 Liceo scientifico

Testo “Esiste solo un poliedro regolare le cui facce sono esagoni”. Si dica se questa affermazione è vera o falsa e si fornisca una esauriente spiegazione della risposta. Soluzione L’affermazione riportata nel testo è chiaramente falsa in quanto la somma degli angoli uscenti da uno stesso vertice delle tre possibili facce sarebbe pari a 360 […]

Quesito 3 – Testo e soluzione – Maturità 2009 Liceo scientifico

Testo Per quale o quali valori di k la curva d’equazione \[ y=x^{3}+kx^{2}+3x-4 \] ha una sola tangente orizzontale? Soluzione La curva di equazione \[ y=x^{3}+kx^{2}+3x-4 \] è un famiglia di cubiche che rappresenta delle funzioni continue e derivabili in tutto l’insieme dei numeri reali, la cui derivata prima è: \[ y’=3x^{2}+2kx+3 \] e la […]