Studio di funzioni – Esercizio 1

 

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Studiare la seguente funzione: \[ f\left(x\right)=\frac{e^{1-x}}{x^{2}-1} \] 1) Dominio: \[ D=\mathbb{R}-\left\{ \pm1\right\} \] 2) Simmetrie: \[ f\left(-x\right)=\frac{e^{1-\left(-x\right)}}{\left(-x\right)^{2}-1}=\frac{e^{1+x}}{x^{2}-1} \] \[ f\left(-x\right)\neq f\left(x\right) \] \[ f\left(-x\right)\neq-f\left(x\right) \] f(x) non è ne pari ne dispari.

3) Intersezioni con gli assi: \[ \left\{ \begin{array}{c} x=0\\ f\left(x\right)=-e \end{array}\right.\rightarrow\left(0;-e\right)\in f\left(x\right) \] \[ \left\{ \begin{array}{c} y=0\\ e^{\left(1-x\right)}=0 \end{array}\right.\rightarrow\textrm{Ø} \] 4) Segno: \[ f\left(x\right)>0\rightarrow x^{2}-1>0 \] \[ \left\{ \begin{array}{c} f\left(x\right)>0\rightarrow x<-1\:\vee\: x>1\\ f\left(x\right)<0\rightarrow x>-1\:\wedge\: x<1 \end{array}\right. \] 5) Limiti: \[ \lim_{x\rightarrow\pm1}f\left(x\right)=\infty \] x=-1 e x=1 sono quindi asintoti verticali, per la funzione data. \[ \lim_{x\rightarrow+\infty}f\left(x\right)=0 \] y=0 è quindi un asintoto orizzontale. \[ \lim_{x\rightarrow-\infty}f\left(x\right)=+\infty \] Inoltre \[ \lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{f\left(x\right)}{x}=\infty \] ne consegue che non ci sono asintoti obliqui.

6) Derivate:

Calcoliamo la derivata prima: \[ f’\left(x\right)=\frac{-e^{1-x}\left(x^{2}-1\right)-e^{1-x}\left(2x\right)}{\left(x^{2}-1\right)^{2}} \] \[ f’\left(x\right)=\frac{-e^{1-x}\left(x^{2}+2x-1\right)}{\left(x^{2}-1\right)^{2}} \] Studiamone il segno: \[ f’\left(x\right)\geq0\rightarrow x^{2}+2x-1\leq0 \] \[ f’\left(x\right)\geq0\rightarrow x\geq-1-\sqrt{2}\:\wedge\: x\leq-1+\sqrt{2} \] Per x compreso tra i due valori -1-rad2 e -1+rad2 la funzione è crescente, per valori esterni sarà quindi decrescente. Otteniamo un minimo per \[ x_{MIN}=-1-\sqrt{2} \] e un massimo per \[ x_{MAX}=-1+\sqrt{2} \]

 

 

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93 thoughts on “Studio di funzioni – Esercizio 1

    1. sinceramente parlando, parlare di limite bilatero nei seguenti punti non ha senso.
      => che bisogna calcolarsi i limiti per x -> (+/- 1) da sinistra e destra.
      In ogni caso sono asintoti verticali poichè facendolo ottieni degli infiniti discordi

  1. Se fai i passaggi bene magari si capisce qualcosa… ma così come fai tu a titolo informativo posso scrivere anche la funzione su google e me la calcola… hai anche sbagliato i segni dei massimo e minimo. Molto utile Grazie :)

  2. non riesco a capire lo studio del segno della derivata prima, perchè f(x) si pone >0 ma poi si mette < nella disequazione?

    1. Si neppure io ho capito. Non ci sono cambiamenti di segno quindi non ho capito perchè si pone x^2+2x-1 <0.

    1. Tutto ok ma come ottieni i valori della X nell equazione della derivata prima non lo capisco . Grazie Anna

  3. ciao mi chiamo Davide, ho un dubbio per quanto riguarda il limite tendente a +infinito che sinceramente non riesco a capire come possa fare 0 in quanto ho provato a fare i calcoli. a me viene e^+infinito/ infinito^2 -1 ora seguendo la tecnica degli ordini degli infiniti è come se mi trovassi sopra +infinito e sotto un numero e quindi dovrebbe fare +infinito. Scusami ma non riesco a capire mi potresti illuminare?

    1. e^1-(+inf) tende a 0. infinito non è definibile ma sai che è un numero esageratamente grande. Prova a prendere la calcolatrice e scrivere e^(1-(5000000)) per esempio… troverai che il risultato è 0. quindi è come se fosse e^1-inf che tende a 0. (ps. è una porcata quella che ho scritto ma rende l’idea) ; )

  4. Ciao albert non mi sono chiare 2 cose.
    1) Come fa la funzione ad esistere tra -1 ed 1 quando queste non sono comprese nel dominio?
    2) Perchè il limite per infinito esce 0 e non infinito?
    Mi scuso per il disturbo.
    Saluti, Antonio

  5. Scusa Albert ho una domanda, nel calcolo dell intersezione perché ponendo y=0 non ti esce nessun punto? Quando arrivi a e^x-1=0 dovresti applicare il logaritmo e ti viene 1-x=1 quindi x=0, ovvero la funzione passa per l origine

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