Studio di funzioni – Esercizio 3

 

Scarica tutti i 101 studi in formato PDF e sostieni il progetto Matepratica con soli 3,99€: clicca qui per effettuare il pagamento, riceverai subito un link via mail dove poter scaricare uno Zip con tutti gli studi pubblicati sul sito in versione PDF. Per ulteriori info scrivi a alberto@matepratica.it

Studiare la seguente funzione: \[ f\left(x\right)=\left(x+1\right)\ln\left(x+1\right)-2 \] 1) Dominio: \[ D=\left(-1;+\infty\right) \] 2) Simmetrie: \[ f\left(-x\right)=\left(-x+1\right)\ln\left(-x+1\right)-2 \] \[ f\left(-x\right)\neq f\left(x\right) \] \[ f\left(-x\right)\neq-f\left(x\right) \] f(x) non è ne pari ne dispari.

3) Intersezioni con gli assi: \[ \left\{ \begin{array}{c} x=0\\ f\left(x\right)=-2 \end{array}\right.\rightarrow\left(0;-2\right)\in f\left(x\right) \] 4) Segno: \[ \left[omesso\right] \] 5) Limiti: \[ \lim_{x\rightarrow-1^{+}}f\left(x\right)=\left[0\cdot\infty\right] \] \[ \lim_{x\rightarrow-1^{+}}f\left(x\right)=\lim_{x\rightarrow-1^{+}}\left[\frac{\ln\left(x+1\right)}{\left(x+1\right)^{-1}}-2\right]=\left[\frac{\infty}{\infty}\right] \] Con De L’Hopital otteniamo: \[ \lim_{x\rightarrow-1^{+}}f\left(x\right)=\lim_{x\rightarrow-1^{+}}\left[\frac{\left(x+1\right)^{-1}}{-\left(x+1\right)^{-2}}-2\right] \] \[ \lim_{x\rightarrow-1^{+}}f\left(x\right)=\lim_{x\rightarrow-1^{+}}\left(-x-1-2\right)=-2 \] \[ \lim_{x\rightarrow+\infty}f\left(x\right)=+\infty \] Inoltre \[ \lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{f\left(x\right)}{x}=+\infty \] ne consegue che non ci sono asintoti obliqui.

6) Derivate:

Calcoliamo la derivata prima: \[ f’\left(x\right)=\ln\left(x+1\right)+\left(x+1\right)\cdot\frac{1}{x+1} \] \[ f’\left(x\right)=\ln\left(x+1\right)+1 \] Studiamone il segno: \[ f’\left(x\right)\geq0\rightarrow\ln\left(x+1\right)+1\geq0 \] \[ f’\left(x\right)\geq0\rightarrow\ln\left(x+1\right)\geq-1 \] \[ f’\left(x\right)\geq0\rightarrow x+1\geq e^{-1} \] \[ f’\left(x\right)\geq0\rightarrow x\geq\frac{1}{e}-1 \] Per x compreso tra i due valori x=-1 e x=1/e-1 la funzione è decrescente, per valori superiori a x=1/e-1 è invece crescente. Otteniamo di conseguenza un minimo per \[ x_{MIN}=\frac{1}{e}-1 \]
Derivata seconda: \[ f”\left(x\right)=\frac{1}{x+1} \] \[ f”\left(x\right)\geq0\rightarrow x>-1 \] \[ f”\left(x\right)\geq0\;\forall x\in D \] Ne consegue che f(x) è sempre convessa.

 

 

Scarica tutti i 101 studi in formato PDF e sostieni il progetto Matepratica con soli 3,99€: clicca qui per effettuare il pagamento, riceverai subito un link via mail dove poter scaricare uno Zip con tutti gli studi pubblicati sul sito in versione PDF. Per ulteriori info scrivi a alberto@matepratica.it

45 thoughts on “Studio di funzioni – Esercizio 3

  1. La cosa che mi lascia perplesso è che, quando si va ad applicare De L’Hospital, il -2 al numeratore non venga proprio considerato, come se non ci fosse: ossia, non viene derivato. Però poi risulta determinante nei conti finali. Se fosse stato derivato, sarebbe dovuto sparire. E’ normale? Può suggerirmi qualche ulteriore esempio/lettura in merito? Grazie.

    1. Siccome dell’ Hopistal si utilizza per le forme indeterminate, es. (0/0), in questo caso il -2 non è un fattore che va a “creare” questa situazione di indeterminazione. Il -2 non ha incognite quindi quando tu andrai a studiare il limite X=-1, non dovrai appunto sostituirla a causa della mancanza dell’incognita e di conseguenza non ne sarà necessaria la derivazione. Mentre al contrario per quanto riguarda il log e la parentesi dovrai applicare dell’ Hospital siccome entrambe propongono risultati diversi tra loro.

    1. lim. x–> -1+ ln(x+1) = -inf è corretto

      La scrittura inf senza segno non specifica il comportamento della funzione.

      Al tendere a 0+ la funzione logaritmica con base maggiore di 1, la funzione tende a meno infinito.

    1. i logaritmi devono avere Base Maggiore di 0 e Diversa da 1
      e argomento Maggiore di 0. Essendo “e” la base di ln rimane solo da efffettuare lo studio dell’argomento. basta porre (x+1)>0 ed eseguire i calcoli

  2. Ciao, scusa la domanda idiota: rifacendo da sola l’esercizio ho tentato di trovare anche l’intersezione con l’asse delle x e delle y.
    Ovviamente con x=0 mi porta y=-2 (come a te) mentre con y=0 mi porta che non esiste soluzione.
    Ma allora la mia domanda è: come fa il grafico ad intersecare l’asse delle x ma non si riesce a calcolarne il punto?

    Grazie mille :)

  3. ciao scusa,nel limite che tende a -1.come fa a diventare una forma indeterminata del tipo inf/inf ?? perchè al numeratore:log di 0 è inf ma sotto viene 0 quindi in teoria non si può applicare de l’hospital..come si fa? Grazie

  4. Ciao, scusa il disturbo, ma perchè quando fai il limite che tende a -1, non sostituisci semplicemente alla funzione di partenza invece di mettere (x+1) al denominatore?

  5. scusi potrebbe scrivere i passaggi di come ha ottenuto (x+1)^-1\(x+1)^-2 nella derivata del limite( non mi quadra il numeratore)

  6. è abbastanza complicata come cosa, dovresti porre

    f(x) > 0

    ovvero

    (x+1)ln(x+1)-2 > 0

    xln(x+1) +ln(x+1) -2 > 0

    xln(x+1) > 2 – ln(x+1)

    A questo punto dovresti studiare e disegnare sullo stesso grafico sia la funzione al primo membro sia quella al secondo, e vedere quando la prima è maggiore della seconda.

    Vedi qui:
    http://www.wolframalpha.com/input/?i=xln%28x%2B1%29+%3E+2+-+ln%28x%2B1%29

    Noti che hanno un solo punto di intersezione (per tentativi x=1,35 circa) e la disequazione è vera (e la tua funzione f(x) positiva) quando x>1,35

  7. Scusa scusa scusa sono ancorai io a rompere le scatole, vero che mi spiegheresti anche come trovare il segno della funzione? :)

  8. No non trascuro il denominatore. Scrivendo la funzione come

    f(x)=xln(x+1)+ln(x+1)-2

    dividendola per x ottengo:

    f(x)/x = ln(x+1) +(ln(x+1))/x -2/x

    Per x–>+inf
    f(x)/x = +inf +0 -0 = +inf

  9. ciao,perchè calcolando l asintoto verticale dopo aver applicato hopital ad un certo punto trascuri il denominatore?

  10. ciao Albert.. io non ho capito xkè hai utilizzato due modi diversi di scrivere la funzione x calcolare l’asintoto verticale e quello obliquo.. x calcolare quello obliquo non potevi scrivere la funzione (x+1)ln(x+1)-2/ x e risolverlo come limite notevole??? grazie

  11. Si va per tentativi ponendo f(x)=0, e trovi che la curva interseca l’asse x nel punto x=2,34 circa. Poi, dopo aver studiato le derivate deduci che f(x)>0 quando x>2,34

  12. Ja peró la positivitá la potevi mettere ci siamo ubriacati un sacco e alla fine non ci siamo trovati XD se hai tempo please mettila

  13. come mai nel limite in cui si applica il teorema di de l’hopital il -2 viene tenuto fuori? non fa parte del numeratore e quindi non andrebbe anch’esso derivato?

  14. ciao albert ma nel primo limite quando vai a fare la derivata di 1/(x+1) come mai viene -1/(x+1)^2??

    se vai ad applicare la derivata di un rapporto non viene (-x-1)/(x+1)^2???

    grazieee!! sito fantasticoooo!! :)

  15. Ciao,

    la funzione può essere scritta così:
    f(x)=xln(x+1)+ln(x+1)-2
    se la dividi per x:
    f(x)/x=ln(x+1)+(1/x)ln(x+1)-2/x
    Il limite per x che tende a infinito di quest’ultima espressione è +infinito+0-0=+infinito
    NB: mentre il primo e l’ultimo sono limiti immediati, il secondo termine (1/x)ln(x+1) si può risolvere facilmente con de l’hopital o per confronto tra infiniti.

    Buono studio!

Lascia un commento

Il tuo indirizzo email non sarà pubblicato. I campi obbligatori sono contrassegnati *