Studio di funzioni – Esercizio 4

 

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Studiare la seguente funzione: \[ f\left(x\right)=\frac{\ln\left(2x\right)}{x} \] 1) Dominio: \[ D=\left(0;+\infty\right) \] 2) Simmetrie: \[ f\left(-x\right)=\frac{\ln\left(-2x\right)}{-x}=-\frac{\ln\left(-2x\right)}{x} \] \[ f\left(-x\right)\neq f\left(x\right) \] \[ f\left(-x\right)\neq-f\left(x\right) \] f(x) non è ne pari ne dispari.

3) Intersezioni con gli assi: \[ \left\{ \begin{array}{c} f\left(x\right)=0\\ x=\frac{1}{2} \end{array}\right.\rightarrow\left(\frac{1}{2};0\right)\in f\left(x\right) \] 4) Segno: \[ N>0\rightarrow\ln\left(2x\right)>0\rightarrow x>\frac{1}{2} \] \[ D>0\rightarrow x>0 \] \[ \left\{ \begin{array}{c} f\left(x\right)>0\rightarrow x>\frac{1}{2}\\ f\left(x\right)<0 \rightarrow x>0\:\wedge\: x<\frac{1}{2} \end{array}\right. \] 5) Limiti: \[ \lim_{x\rightarrow0^{+}}f\left(x\right)=-\infty \] x=0 è un asintoto verticale per f(x). \[ \lim_{x\rightarrow+\infty}f\left(x\right)=0^{+} \] y=0 è un asintoto orizzontale per f(x).

6) Derivate:

Calcoliamo la derivata prima: \[ f’\left(x\right)=\frac{\frac{1}{x}\cdot x-\ln\left(2x\right)}{x^{2}} \] \[ f’\left(x\right)=\frac{1-\ln\left(2x\right)}{x^{2}} \] Studiamone il segno: \[ f’\left(x\right)\geq0\rightarrow1-\ln\left(2x\right)\geq0 \] \[ f’\left(x\right)\geq0\rightarrow\ln\left(2x\right)\leq1 \] \[ f’\left(x\right)\geq0\rightarrow x\leq\frac{e}{2} \] Per x compreso tra i due valori x=0 e x=e/2 la funzione è crescente, per valori superiori a x=e/2 è invece decrescente. Otteniamo di conseguenza un massimo per \[ x_{MAX}=\frac{e}{2} \]
Derivata seconda: \[ f”\left(x\right)=\frac{-\frac{1}{x}\cdot x^{2}-\left[1-\ln\left(2x\right)\right]\cdot2x}{x^{4}} \] \[ f”\left(x\right)=\frac{x\left[2\ln\left(2x\right)-3\right]}{x^{4}} \] \[ F_{1}>0\rightarrow x>0 \] \[ F_{2}\geq0\rightarrow2\ln\left(2x\right)-3>0\rightarrow x\geq\frac{1}{2}e^{\frac{3}{2}} \] \[ \left\{ \begin{array}{c} f”\left(x\right)\geq0\rightarrow x\geq\frac{1}{2}e^{\frac{3}{2}}\\ f”\left(x\right)<0 \rightarrow x>0\:\wedge\: x<\frac{1}{2}e^{\frac{3}{2}} \end{array}\right. \] La funzione è quindi concava tra x=0 e x=1/2*e^(3/2), convessa per x maggiori di 1/2*e^(3/2). Abbiamo un punto di flesso per \[ x_{F}=\frac{1}{2}e^{\frac{3}{2}} \]

 

 

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55 thoughts on “Studio di funzioni – Esercizio 4

    1. Perché 0 equivale a scrivere ln 1, quindi la disequazione è diventata ln 2x > ln 1.
      In questo modo ha potuto “rimuovere” ln da entrambe le parti (non è una vera semplificazione, ma funziona praticamente come tale) per farla diventare 2x > 1. Da qui il risultato x > 1/2.

  1. Non riesco proprio a spiegarmi il dominio e il segno (e sono le prime due cose che ho provato a fare. Mi piacciono molto di più gli appunti scannerizzati dove spieghi passo per passo quello che fai.

  2. scusami visto che hai trovato l’asintoto orizzontale con y=0 perchè il grafico della funzione attraversa l’asintoto? O.o

    1. Se una funzione ha un asintoto orizzontale, questo non significa che non possa intersecarlo una o più volte… Un esempio emblematico è f(x)=(senx)/x che interseca il suo asintoto y=0 infinite volte!

    1. No, perchè per x=0 si annulla il numeratore (e oltretutto si annulla anche l’argomento del logaritmo), per cui in quel punto la f non esiste

    1. Per x->+inf ln(2x)->+inf così come il denominatore. Quindi hai una forma indeterminata inf/inf che si risolve agilmente con de l’hopital, oppure col confronto tra infiniti (vince il denominatore e limite va a zero).

  3. Buonasera
    volevo fare una domanda. Ho questa funzione: f(x)=1-xln(x)
    Sto provando a calcolare le intersezioni però x=0 lo escludo perchè = non fa parte del dominio, mentre per y=0 non riesco a trovarlo.
    Quali sono i passaggi da effettuare per calcolare il punto di intersezione? Nelle soluzioni me lo riporta.
    Grazie mille,
    Angelo

    1. Perfetto ho capito. Ma in teoria se dovessi trovare una cosa simile in una traccia di esame, il calcolo di questa intersezione lo salto o devo obbligatoriamente farlo?
      Grazie ancora della risposta,
      Angelo

    2. Se fai questo passaggio poi riesci a disegnare il grafico in modo più accurato. L’obbligatorietà o meno e l’eventuale punteggio assegnato dipende dal prof, ma non credo possa valere più di tanto…

    1. f(x)=0 –> (ln(2x))/x=0
      e una frazione si annulla quando si annulla il numeratore, perciò:
      ln(2x)=0
      ln(2x)=ln(1)
      2x=1 –> x=1/2

  4. La funzione ln(2x) per x che tende a 0+ tende a meno infinito, perchè 2x tende a 0+, e ln(0+)= – inf.
    x che è il denominatore tende a 0+.
    Quindi: [-inf/0+]= -inf

  5. ciao,
    scusami non riesco a capire il passaggio, nella derivata seconda da 2ln(2x)-3>0 che ti da X>1/2^e^3/2
    grazie

  6. Il numeratore è ln(2x), quindi la sua derivata è
    1/(2x) * 2 = 1/x

    Ti sei dimenticato il 2, che è la derivata dell’argomento (funzione interna 2x)

  7. Ciao Anonimo,

    – calcolo la derivata prima
    – la pongo maggiore o uguale a zero: trovo che f’=0 quando x=e/2, e che f’ è positiva nell’intervallo (0,e/2). Di conseguenza f’ è negativa per x>e/2.
    – Concludo che f è crescente nell’intervallo (0,e/2) e decrescente per x>e/2. Visto che in x=e/2 –> f’=0 trovo quindi che f ha un max quando x=e/2.

  8. Ciao Albert.
    Gentilmente potresti spiegarmi come fai a trovare il max? Ti premetto che sn alle prime armi,ma non l ho capito. Grazie
    Ps. Ottimo sito..mi sta aiutando molto

  9. Scusa Albert mi spiegheresti gentilmente il 2^limite???quello di x–> +oo !!!cm mai hai messo 1/2x*2???grazie mille..

  10. Ok, evidenzio i passaggi intermedi:

    ln(2x) < 1
    ln(2x) < ln(e), perchè ln(e)=1
    2x < e
    x < e/2

    Visto che il ln(2x) esiste solo per x>0 (che è anche il dominio), otteniamo quindi:
    0 < x < e/2

  11. Si certo, però dopo, nel calcolo del segno, dovresti tenere conto anche del denominatore (x^3 non è sempre positivo come x^4). Non allunghi l’esercizio, ma nemmeno lo accorci.

  12. potrei farti un’altra domanda?
    Alla fine,si potrebbe semplificare la x del numeratore con la x^4 del denominatore?

  13. Ciao,

    il numeratore, semplificando x^2 con x, viene:
    -x-2x(1-ln(2x))
    raccogliamo la x:
    x(-1-2(1-ln(2x)))
    moltiplichiamo dentro parentesi:
    x(-1-2+2ln(2x))
    ed ecco il risultato:
    x(2ln(2x) -3)

    Buono studio!

  14. salve,mi potreste spiegare meglio come si passa dal primo al secondo(ed ultimo) passaggio,nella derivata seconda??? grazie

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