Studio di funzioni – Esercizio 5

 

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Studiare la seguente funzione: \[ f\left(x\right)=x^{2}e^{3x+5} \] 1) Dominio: \[ D=\mathbb{R} \] 2) Simmetrie: \[ f\left(-x\right)=x^{2}e^{-3x+5} \] \[ f\left(-x\right)\neq f\left(x\right) \] \[ f\left(-x\right)\neq-f\left(x\right) \] f(x) non è ne pari ne dispari.

3) Intersezioni con gli assi: \[ \left\{ \begin{array}{c} x=0\\ y=0 \end{array}\right.\rightarrow\left(0;0\right)\in f\left(x\right) \] 4) Segno: \[ f\left(x\right)\geq0\:\forall x\in D \] 5) Limiti: \[ \lim_{x\rightarrow-\infty}f\left(x\right)=\left[\infty\cdot0\right] \] \[ \lim_{x\rightarrow-\infty}f\left(x\right)=\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{x^{2}}{e^{-3x-5}}=\left[\frac{\infty}{\infty}\right] \] Risolviamolo con De L’Hopital: \[ \lim_{x\rightarrow-\infty}f\left(x\right)=\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{2x}{-3e^{-3x-5}}=\left[\frac{\infty}{\infty}\right] \] \[ \lim_{x\rightarrow-\infty}f\left(x\right)=\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{2}{9e^{-3x-5}}=0 \] y=0 è un asintoto orizzontale per la funzione data. \[ \lim_{x\rightarrow+\infty}f\left(x\right)=+\infty \] \[ \lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{f\left(x\right)}{x}=+\infty \] Non ci sono asintoti obliqui.

6) Derivate:

Calcoliamo la derivata prima: \[ f’\left(x\right)=2xe^{3x+5}+3x^{2}e^{3x+5} \] \[ f’\left(x\right)=e^{3x+5}\left(3x^{2}+2x\right) \] Studiamone il segno: \[ f’\left(x\right)\geq0\rightarrow3x^{2}+2x\geq0 \] \[ f’\left(x\right)\geq0\rightarrow x\leq-\frac{2}{3}\:\vee\: x\geq0 \] Otteniamo quindi un minimo per \[ x_{MIN}=0 \] e un massimo per \[ x_{MAX}=-\frac{2}{3} \]

Derivata seconda: \[ f”\left(x\right)=3e^{3x+5}\left(3x^{2}+2x\right)+e^{3x+5}\left(6x+2\right) \] \[ f”\left(x\right)=e^{3x+5}\left(9x^{2}+12x+2\right) \] \[ f”\left(x\right)\geq0\rightarrow9x^{2}+12x+2\geq0 \] Otteniamo due punti di flesso: \[ x_{F1}=\frac{-2-\sqrt{2}}{3} \] \[ x_{F2}=\frac{-2+\sqrt{2}}{3} \]

 

 

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40 thoughts on “Studio di funzioni – Esercizio 5

  1. scusa non ho capito nella derivata seconda quando calcoli il discriminante come ti fa ad uscire 2 sotto rad?? perchè ho provato più volte e mi esce 18 oppure 72….potresti spiegarmi per cortesia come hai fatto?? grazie mille…

    1. Posso rispondere io, magari aiuterà qualcun altro questo commento. 72 = 9*8 = 3^2 * 2^3 e quindi per le proprietà delle radici possiamo portare al di fuori 3^2 e 2^2 –> 3*2*sqrt(2)

  2. è uguale maggiore o minore…devi vedere se sono concordi o discordi…cioe se il segno della x di grado maggiore è concorde o discorde con il maggiore o minore che hai messo( di solito si mette maggiore)
    la x di grado maggiore, per esempio positivo, si dice concorde con il segno maggiore…allora avrai valori esterni e viceversa

  3. ciao questo sito è stupendo ed ho imparato molte cose…quindi molte grazie .però ho un grande dubbio se nelle disequazioni pongo >0 allora le soluzioni saranno per valori esterni, mentre se pongo la disequazione <0 per valori interni.volevo sapere se il mio ragionamente è giusto….

  4. scusa ma nello studio dei limiti se io il limite lo scrivessi come
    (e^(3x+5))/(x^(-2))
    non andrebbe bene lo stesso??? infatti, essendo e di ordine maggiore otterrei Inf come risultato….fammi sapere!!
    grazie e complimenti per il sito!

    1. La funzione sale (derivata prima positiva) prima di -2/3, scende tra -2/3 e 0 (derivata prima negativa), e sale per x>0: quindi, visto che in x=0 e x=-2/3 la derivata si annulla, allora x=0 è un minimo e x=-2/3 un massimo.

  5. ciao volevo sapere come mai nel passaggio del segno viene per ogni x appartenente ad R. Io ho pensato per l’insieme dei valori che è solo R+?? Grazie in anticipo

    1. La funzione è un prodotto di due fattori: il primo (x^2) è un quadrato e quindi sempre positivo, il secondo è un esponenziale e quindi sempre positivo. Di conseguenza il prodotto tra due fattori positivi è sempre positivo.

  6. Ciao Albert, scusa la domanda, ma non ho capito nel 5 passaggio come sei arrivato a trasfomare la moltiplicazione di x^2 per l’e in una fratta..

    1. Ho usato il principio:
      a^b = 1/(a^(-b))
      Per esempio 2^2=1/(2^(-2))=1/(1/4)=1*4=4

      quindi ho portato al denominatore l’esponenziale cambiando segno all’esponente

  7. ciao albert mi puoi far vedere come si calcola la ymax e come viene graficamente il punto massimo? nn riesco a capire come va a finire li su il punto massimo

    1. y(max)=(-2/3)^2 e^(3(-2/3)+5)=
      =4/9 e^3 che è circa 8,8…poi tieni conto che nel grafico rappresentato x e y non è detto che abbiano la stessa scala..

    1. La tua funzione la puoi scrivere come
      f(x)=18-18e^(-x/18)
      quindi:
      f'(x)= -18 * e^(-x/18) * (-1/18)
      f'(x)= e^(-x/18)

      f”(x)= e^(-x/18) * (-1/18)
      f”(x)= -1/18 e^(-x/18)

  8. salve non ho capito una cosa, quando studia il segno della derivata prima pone x^2+2x maggiore uguale a 0 e ottiene x maggiore uguale a 2/3,
    per ottenere f′(x)≥0→x≤−23∨x≥0 vuol dire che c’è anche un x≥0 ma da dove lo ottiene?

  9. Ciao ti volevo chiedere essendo il limite di x che tende a + infinito uguale a + infinito e quello di x che tende a meno infinito uguale a 0 non si poteva fare a meno di calcolare gli asintoti abliqui?

    grazie

  10. Ciao Danny,

    se pongo y=0 ottengo:

    x^2 e^(3x+5) = 0

    La funzione è uguale a zero quando almeno uno dei due fattori che la compongono è uguale a zero (regola di annullamento del prodotto) quindi:

    x^2=0 –> x=0 quindi f(x) passa per O(0;0)

    e^(3x+5)=0 –> qui non trovo altre soluzioni perchè una funzione esponenziale non è mai uguale a zero

  11. Perchè, se ad esempio al funzione è xe^(x-1) e la x del massimo è 6… la y viene:

    6*e^(6-1) = 6e^5

    Cioè se i conti vengono all’esponente è normale che la base rimanga quella (“e” in questo caso), e anche all’esponente viene un numero (non più una funzione di x).

  12. Grazie mille per i chiarimenti,mi sono accorto delle sviste!

    Un’ultima cosa:quando ho e elevato qualcosa devo sostituire il suo valore numerico? Perché in questi studi di funzione capita spesso che la y di un massimo sia,ad esempio,e^5.

  13. Ciao,

    – Perchè la derivata del numeratore è 2, e la derivata del denominatore è -3*e^(-3x-5) *(-3) = 9e^(-3x-5)

    – L’asintoto orizzontale c’è per x che tende a MENO infinito, mentre per x che tende a +infinito dobbiamo cercare un eventuale asintoto obliquo

    – Al posto della x nella funzione iniziale sostituisci la x del massimo (o del minimo), e fai i calcoli

  14. Buongiorno,non riesco a capire alcune cose:
    -nel secondo passaggio dello svolgimento del limite con De L’Hopital perché viene 2/9 ecc…?
    -come mai cerca eventuali asintoti obliqui se vi è un asintoto orizzontale?
    -come faccio a trovare i valori delle y dei massimi e dei minimi quando ho e elevato qualcosa?
    Stesso problema che riscontro con i punti di flesso..

    Grazie anticipatamente per la risposta..

  15. Ciao,
    non viene inf/e^(-inf),
    al denominatore c’è e^(-3x-5), se al posto di x metti -inf ottieni e^(-(-inf))=e^(+inf)=+inf
    Quindi hai una forma indeterminata inf/inf che si risolve o con del’hopital (applicato 2 volte), oppure più semplicemente col confronto tra infiniti: e^inf è un infinito “più grande” di x^2, quindi “vince” e porta il limite a zero.

  16. scusami albert ma nel limite che va a – 00 xchè viene 0+??

    non dovrebbe venire oo/( e(^-00)) cioè 00???

    grazie e scusa il disturbo.

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