Equazioni esponenziali – Batteria 5

Risolvere le seguenti equazioni esponenziali:

Esercizio 1 \[ \sqrt[x]{7^{7}}\cdot\sqrt[x+3]{7^{4}}=\sqrt[x+4]{7^{6}} \] In questo esercizio x dev’essere strettamente positivo, in modo che tutti gli indici delle radici siano positivi. \[ 7{}^{\frac{7}{x}}\cdot7^{\frac{4}{x+3}}=7^{\frac{6}{x+4}} \] \[ \frac{7}{x}+\frac{4}{x+3}=\frac{6}{x+4} \] \[ \frac{7\left(x+3\right)\left(x+4\right)+4x\left(x+4\right)-6x\left(x+3\right)}{x\left(x+3\right)\left(x+4\right)}=0 \] \[ 7\left(x+3\right)\left(x+4\right)+4x\left(x+4\right)-6x\left(x+3\right)=0 \] \[ \left(7x+21\right)\left(x+4\right)+4x^{2}+16x-6x^{2}-18x=0 \] \[ 7x^{2}+21x+28x+84+4x^{2}+16x-6x^{2}-18x=0 \] \[ 5x^{2}+47x+84=0 \] Usando la formula risolutoria delle equazioni di secondo grado: \[ x_{1}=-\frac{12}{5}\;;\; x_{2}=-7 \] Viste le condizioni di esistenza della nostra equazione, queste soluzioni NON sono accettabili.

Esercizio 2 \[ \sqrt[x]{\left(\frac{4}{3}\right)^{4x+7}}=\left(\frac{64}{27}\right)^{x+2} \] In questo esercizio x dev’essere strettamente positivo, in modo che l’indice della radice sia positivo. \[ \left(\frac{4}{3}\right)^{\frac{4x+7}{x}}=\left(\frac{4}{3}\right)^{3\left(x+2\right)} \] \[ \frac{4x+7}{x}=3x+6 \] \[ \frac{4x+7-3x^{2}-6x}{x}=0 \] \[ x\neq0 \] \[ 4x+7-3x^{2}-6x=0 \] \[ 3x^{2}+2x-7=0 \] Soluzioni: \[ x_{1}=\frac{-1-\sqrt{22}}{3}\;;\; x_{2}=\frac{-1+\sqrt{22}}{3} \] La prima soluzione NON è accettabile perchè negativa!

21 thoughts on “Equazioni esponenziali – Batteria 5

  1. Ciao! Urgentissimooo! qualcuno mi potrebbe spiegare con che criterio, nel grafico degli esponenziali vado a cancellare (o ad escludere) le parti superiori o inferiori? So che se ho un dominio che ad esempio esclude i numeri 2,3,4 sul grafico devo andare a cancellare sia la parte superiore che quella inferiore compresa tra questi tre numeri…ma sono gli altri passaggi che non capisco :( per esempio sulla funzione y= 1/4x^2-20x+50 ?? la pongo > 0 e poi?
    grazie mille in anticipo!

  2. E invece io ho provato a risolvere questa equazione e^x-1/x-2=1 ho fatto il minimo comune multiplo x-2 e mi è uscito x-1=x-2 x-x=-2+1 sul libro esce 1 però. Cosa ho sbagliato?

    1. Nel tuo caso, 1 è uguale a e^0, perciò diventerà x-1/x-2=0. x sarà diversa da 2 per il campo di esistenza e x sarà appunto uguale ad 1.

    1. Dovrebbe essere impossibile perché non hanno la stessa base (almeno così ho studiato)

  3. No Ian, la soluzione x2 dell’esercizio 2 è accettabile anche se non è un intero, in quanto è strettamente positiva ed è un numero appartenente all’insieme dei numeri reali (come peraltro la soluzione x1, con la differenza che non è accettabile in quanto è negativa).

  4. nell’esercizio 2 l’equazione di 2′ grado come fa a dare quelle soluzioni dovrebbe essere -2 +o- radice 4+88 fratto 6 che da un altro risultato

    1. No, perché non è un intero. In generale il numero a^(x/y), se non sbaglio, è definito solo se x/y è una frazione irriducibile, cioè se x e y sono coprimi fra loro. Questo complica abbastanza tutto il procedimento. Se x e y non sono coprimi si possono avere casi chiaramente assurdi. Sbaglio?
      Se, come credo, ho ragione, allora l’esercizio due non ammette soluzione

    2. Intendevo l’uguaglianza tra la radice di indice y di a^x e il numero, sempre definito se a è positivo, a^(x/y).

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