2 thoughts on “Logica – Lezione 2 – Slide 6

  1. Tavola di verità – Le formule proposizionali sono le proposizioni che si ottengono combinando (attraverso l’uso dei connettivi logici) due o più proposizioni semplici.
    Per esempio (p  q)  r è una formula proposizionale.

    Costruire la tavola di verità di una formula proposizionale significa stabilire i suoi valori di verità (V o F) al variare dei valori di verità delle singole proposizioni semplici che la compongono.

    1. PROBLEMA 4
      L’affermazione “quando bevo troppo, mi si gonfia lo stomaco” implica che:
      A) se non mi si gonfia lo stomaco allora non ho bevuto troppo
      B) non mi si gonfia lo stomaco pur avendo bevuto troppo
      C) a volte capita che non mi si gonfi lo stomaco pur avendo bevuto troppo
      D) se mi si gonfia lo stomaco vuol dire che ho bevuto troppo
      E) o bevo troppo o mi si gonfia lo stomaco
      Si può certamente cercare di “vedere intuitivamente” la soluzione, e in casi semplici come questo, per chi ne
      è in grado, è forse perfino la tecnica più efficiente. Ma esiste anche una tecnica “semi-algoritmica”, che è
      sufficientemente generale e ha tra il vantaggio di limitare il ruolo dell’intuizione, e quindi di essere
      impiegabile anche “dai non intuitivi”. Tale tecnica si basa sui seguenti passi, applicabili a ogni affermazione
      A da considerare, per esempio A=“quando bevo troppo, mi si gonfia lo stomaco”.
      1. Si analizza la struttura di A e si stabilisce se sia una proposizione elementare, cioè non costituita da due o
      più proposizioni, o sia una proposizione composta.Nell’esempio, A è chiaramente una
      proposizione composta, le proposizioni elementari componenti essendo “bevo troppo” e “mi si gonfia lo
      stomaco”. E’ immediato constatare che anche le proposizioni A)-E) sono composte.
      2. Nel caso in cui la proposizione considerata sia composta, la si riscrive isolando i connettivi dalle
      proposizioni elementari e, per sintesi, sostituendo queste ultime con dei simboli; A potrebbe diventare perciò:
      “quando B, S”, avendo sostituito B=“bevo troppo” e S=“mi si gonfia lo stomaco”. Il problema che si pone ora è di ricondurre il valore di verità della proposizione composta al valore di
      verità delle proposizioni elementari; nell’esempio, la domanda da porsi è: come dipende il valore di verità di
      “quando B, S” dal valore di verità di B e di S? Ancora più concretamente, se per esempio ¬B (cioè è falso che
      abbia bevuto troppo) e S (mi si è comunque gonfiato lo stomaco), diremmo che “quando B, S” è vera o falsa?
      Data la ricchezza espressiva di una lingua come l’italiano, una soluzione generale a problemi di questo
      genere è difficile da trovare. E’ anche per questo che i logici, anche al costo di perdere alcuni dettagli e
      sfumature semantiche, hanno individuato alcune “forme standard”, a cui le proposizioni che ci vengono
      proposte dovrebbero essere ricondotte, per parafrasi.
      Tali forme standard sono, in particolare:
      – “non A” (in simboli ¬A): negazione;
      – “A o B” (in simboli A∨B): disgiunzione;
      – “o A o B” (in simboli A▽B): disgiunzione esclusiva;
      – “A e B” (in simboli A∧B): congiunzione;
      – “A implica B” (o: “se A allora B”) (in simboli A→B): implicazione;
      – “A se e solo B” (in simboli A↔B): bi-implicazione o equivalenza.
      Parafrasiamo dunque l’affermazione iniziale del problema e le proposizioni A)-E) in modo da ricondurle a
      forme standard (si noti ancora che nelle parafrasi modi e tempi verbali tendono a non essere importanti):
      “quando B, S” diventa “se B allora S”: B→S
      A) “se non S allora non B” non richiede parafrasi: ¬S→¬B
      B) “non S pur B” diventa “non S e B”: ¬S∧B
      C) “a volte non S pur B” contiene il problematico “a volte”, che non sappiamo come trattare; per il resto è
      identico a B
      D) “se S vuol dire che B” diventa “se S allora B”: S→B
      E) “o B o S” non richiede parafrasi: B▽S Il problema che ci siamo posti è dunque: (B→S)→?
      Non bisogna però lasciarsi trarre in inganno dalla condizione di implicazione: dato che affermare una
      proposizione significa asserirne la verità, la situazione corrisponde in effetti alla sola prima riga della tavola
      di verità, e quindi il problema è in effetti (B→S)↔?
      Si tratta, in pratica, di verificare se:
      A) (B→S)↔(¬S→¬B) ?
      B) (B→S)↔(¬S∧B) ?
      e così via.
      Applicando passo passo le tavole della verità, controlliamo la prima (COME SI APPLICANO QUESTE TAVOLE DI VERITA)

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