Sistemi lineari – Problema 5

In un rombo, la differenza delle diagonali è 16 cm; la somma di 1/3 della diagonale minore e dei 3/8 della maggiore è 40 cm. Determinare il perimetro e l’area del rombo.

Soluzione:

Chiamiamo x la diagonale maggiore, y quella minore. La prima affermazione del testo ci fornisce la seguente equazione: \[ x-y=16 \] La seconda affermazione del testo ci fornisce la seguente equazione: \[ \frac{1}{3}y+\frac{3}{8}x=40 \] moltiplichiamo a destra e sinistra per il minimo comune denominatore 24: \[ 8y+9x=960 \] Ora mettiamo a sistema le due equazioni: \[ \left\{ \begin{array}{c} x-y=16\\ 9x+8y=960 \end{array}\right. \] \[ \left\{ \begin{array}{c} y=x-16\\ 9x+8\left(x-16\right)=960 \end{array}\right. \] \[ \left\{ \begin{array}{c} y=x-16\\ 9x+8x-128=960 \end{array}\right. \] \[ \left\{ \begin{array}{c} y=x-16\\ 17x=1088 \end{array}\right. \] \[ \left\{ \begin{array}{c} y=48\\ x=64 \end{array}\right. \] Calcoliamo l’area del rombo: \[ A=\frac{x\cdot y}{2}=\frac{64\cdot48}{2}=1536\: cm^{2} \] Calcoliamo il lato del rombo per mezzo del teorema di Pitagora: \[ l=\sqrt{\left(\frac{x}{2}\right)^{2}+\left(\frac{y}{2}\right)^{2}}=\sqrt{32^{2}+24^{2}}=\sqrt{1600}=40\: cm \] Calcoliamo ora il perimetro del rombo: \[ P=4l=4\cdot40=160\: cm \]

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