Studio di funzioni – Esercizio 80

 

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Studiare la seguente funzione: \[ f\left(x\right)=\frac{x^{3}}{\left|x^{2}-1\right|} \] Innanzitutto la funzione si può anche scrivere in questo modo:
Se \[ x^{2}-1>0\rightarrow x<-1\vee x>1 \] allora: \[ f\left(x\right)=\frac{x^{3}}{x^{2}-1} \] Se \[ x^{2}-1<0\rightarrow x>-1\wedge x<1 \] allora: \[ f\left(x\right)=\frac{x^{3}}{1-x^{2}} \] 1) Dominio: \[ x^{2}-1\neq0\rightarrow x\neq\pm1 \] \[ D=R-\left\{ \pm1\right\} \] 2) Simmetrie: \[ f\left(-x\right)=\frac{\left(-x\right)^{3}}{\left|\left(-x\right)^{2}-1\right|}=-\frac{x^{3}}{\left|x^{2}-1\right|}=-f\left(x\right) \] f(x) è dispari: per comodità la possiamo studiare solo per x>0. Per x<0 disegneremo la curva simmetrica rispetto all’origine.

3) Intersezioni con gli assi: \[ \left\{ \begin{array}{c} x=0\\ f\left(x\right)=0 \end{array}\right.\rightarrow\left(0;0\right)\in f\left(x\right) \] 4) Segno: \[ f\left(x\right)\geq0 \] \[ \left\{ \begin{array}{c} Num\geq0\:\forall x\geq0\\ Den>0\:\forall x\in D \end{array}\;\right.\rightarrow f\left(x\right)\geq0\:\forall x\geq0 \] 5) Limiti: \[ \lim_{x\rightarrow+\infty}f\left(x\right)=+\infty \] \[ m=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{f\left(x\right)}{x}=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{x^{2}}{\left|x^{2}-1\right|}=1 \] \[ q=\lim_{x\rightarrow+\infty}f\left(x\right)-mx=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{x^{3}}{x^{2}-1}-x=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{x^{3}-x^{3}+1}{x^{2}-1}=0 \] La retta y=x è un asintoto obliquo. \[ \lim_{x\rightarrow1^{\pm}}f\left(x\right)=\left[\frac{1}{0^{+}}\right]=+\infty \] x=1 , e x=-1 (perchè la funzione è dispari) sono asintoti verticali.

6) Derivate:
visto che studiamo la funzione per x positive, e visto che vogliamo togliere il valore assoluto, avremo due casi:

a) Intervallo (0;1): \[ f’\left(x\right)=\frac{3x^{2}\left(1-x^{2}\right)-x^{3}\left(-2x\right)}{\left(1-x^{2}\right)^{2}}=\frac{3x^{2}-3x^{4}+2x^{4}}{\left(1-x^{2}\right)^{2}}=\frac{3x^{2}-x^{4}}{\left(1-x^{2}\right)^{2}} \] \[ f’\left(x\right)\geq0\rightarrow3x^{2}-x^{4}\geq0\rightarrow x^{2}\left(3-x^{2}\right)\geq0 \] \[ f’\left(x\right)\geq0\rightarrow x\geq-\sqrt{3}\;\wedge\; x\leq\sqrt{3} \] quindi f'(x) è positiva nell’intervallo (0;1), di conseguenza in questo intervallo f(x) è crescente. In x=0 si annulla, quindi (0;0) sarà un punto di flesso a tangente orizzontale: \[ F\left(0;0\right) \] b) x>1: \[ f’\left(x\right)=\frac{3x^{2}\left(x^{2}-1\right)-x^{3}\left(2x\right)}{\left(x^{2}-1\right)^{2}}=\frac{3x^{4}-3x^{2}-2x^{4}}{\left(x^{2}-1\right)^{2}}=\frac{x^{4}-3x^{2}}{\left(x^{2}-1\right)^{2}} \] \[ f’\left(x\right)\geq0\rightarrow x^{4}-3x^{2}\geq0\rightarrow x^{2}\left(x^{2}-3\right)\geq0 \] \[ f’\left(x\right)\geq0\rightarrow x\leq-\sqrt{3}\;\vee\; x\geq\sqrt{3} \] quindi, considerando sempre l’intervallo x>1, tra 1 e rad3 f'(x) è negativa e f(x) è decrescente, per x>rad3 f'(x) è positiva e f(x) è crescente. Ricordando che la funzione è dispari avremo quindi un minimo per x=rad3 e un massimo per x=-rad3: \[ MAX\left(-\sqrt{3};-\frac{3}{2}\sqrt{3}\right) \] \[ MIN\left(+\sqrt{3};+\frac{3}{2}\sqrt{3}\right) \] Derivata seconda, i due casi:

a) Intervallo (0;1): \[ f”\left(x\right)=\frac{\left(6x-4x^{3}\right)\left(1-x^{2}\right)^{2}-\left(3x^{2}-x^{4}\right)2\left(1-x^{2}\right)\left(-2x\right)}{\left(1-x^{2}\right)^{4}} \] facendo i conti: \[ f”\left(x\right)\geq0\rightarrow Num\geq0 \] \[ f”\left(x\right)>0\;\forall x\in\left(0;1\right) \] quindi in questo intervallo la funzione risulta convessa. Nell’intervallo (-1;0) risulterà concava.

b) x>1: \[ f”\left(x\right)=\frac{\left(4x^{3}-6x\right)\left(x^{2}-1\right)^{2}-\left(x^{4}-3x^{2}\right)2\left(x^{2}-1\right)\left(2x\right)}{\left(x^{2}-1\right)^{4}} \] facendo i conti: \[ f”\left(x\right)\geq0\rightarrow Num\geq0 \] \[ f”\left(x\right)>0\;\forall x\in\left(1;+\infty\right) \] quindi in questo intervallo la funzione risulta convessa. Nell’intervallo x<-1 risulterà concava.

 

 

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25 thoughts on “Studio di funzioni – Esercizio 80

  1. Perchè nel limite, per trovare l’intercetta, è stato tolto il valore assoluto? Sapete dove posso trovare prodotti di numeri con il valore assoluto?

  2. Salve, lei ha studiato il segno del modulo scrivendo le due funzioni, poi però ha continuato studiandone solo una (quella con il denominatore x^2-1) e non l’altra con il denominatore 1-x^2. Questo è perché la funzione è simmetrica o per un altro motivo?

  3. Non capisco il limite che tende a 1negativo.. che a te viene infinito a me viene -infinito! E poi facendo la positività da -1 a 0 a te viene negativo e a me positivo…e anche tra 0 e 1 a me viene il contrario del tuo…pleaseee un aiuto per l esameee!

  4. nel calcolo dei limiti, precisamente nel calcolo della q dovrebbe portare infinito e non 0 visto che dovrebbe essere x^3/(x^2-1)-x e quindi x^3-x(x^2-1) ed ha come risultato x^3-x^3-x/(x^2-1) e semplificato x/(x^2-1)

  5. NON HO CAPITO PERCHE’ PRIMA IO CONSIDERO X^2-1 E POI 1-X^2?
    il dominio e’ -inf a -1 da -1.1 U 1 +INF?
    IL SEGNO DELLA FUNZIONE E’ SEMPRE POSITIVA PERCHE’ E’ IN MODULO

    1. – Perchè faccio i due casi del modulo…|t|=t se t>=0 mentre |t|=-t se t<0

      – Il dominio viene così anche a me

      – Il segno corrisponde col segno di x^3 perchè al denominatore ho un modulo sempre positivo, quindi f>0 quando x^3>0 ovvero quando x>0

  6. Ciao Anonimo,

    studiamo la funzione per x>0 perchè f è dispari. Per togliere il modulo dobbiamo fare però i due casi: f, f’,f” avranno quindi una forma in (0,1), un’altra in (1,+inf).

  7. Ciao Albert…Scusa la domanda stupida,ma perchè si studia la derivata nell intervallo (0;1) e per x maggiori di 1?Ti ringrazio in anticipo per la tua cortesia

  8. Ciao Anonimo/i,

    1) In questo caso il punto determinante non è x=0 ma x=1, perchè l’argomento del modulo cambia segno in x=-1, e x=1 (vedi inizio dello studio). Quindi per x positive (stiamo studiando la f solo per x>0 perchè è simmetrica): per x>1 il den sarà x^2-1, per x compreso tra 0 e 1 sarà 1-x^2

    2) Si infatti c’è scritto “per ogni x>0”

  9. nello studio delle derivate perchè nell intervallo (0,1) si considera x^3/(1-x^2) mentre per x>1 si considera x^3/(x^2-1)?
    non si dovrebbe considerare per entrambi i casi x^3/(x^2-1)?dato che stiamo considerando la parte per x>0

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