Limite finito per x che tende ad un valore finito – Batteria 1

Verificare le seguenti uguaglianze, applicando la definizione di limite finito di una funzione per x che tende a un valore finito:

Esercizio 1 \[ \lim_{x\rightarrow-2}\left(2x+1\right)=-3 \] La funzione y=2x+1 è definita in qualsiasi intorno di -2.
Occorre mostrare che, comunque si scelga \[ \varepsilon>0 \] arbitrariamente piccolo, la disuguaglianza \[ \left|\left(2x+1\right)-\left(-3\right)\right|<\varepsilon \] sia verificata per tutti i valori di x di un opportuno intorno di -2. Risolviamo ora la disequazione nell’incognita x: \[ \left|2x+1+3\right|<\varepsilon \] \[ \left|2x+4\right|<\varepsilon \] \[ 2\left|x+2\right|<\varepsilon \] Dividendo per 2 al primo e secondo membro: \[ \left|x+2\right|<\frac{\varepsilon}{2} \] \[ x+2>-\frac{\varepsilon}{2}\;\wedge\; x+2<\frac{\varepsilon}{2} \] \[ x>-2-\frac{\varepsilon}{2}\;\wedge\; x<-2+\frac{\varepsilon}{2} \] \[ x\in\left(-2-\frac{\varepsilon}{2};-2+\frac{\varepsilon}{2}\right) \] Visto che quest'ultimo intervallo costituisce un intorno completo di -2, possiamo affermare che il limite è verificato. Esercizio 2 \[ \lim_{x\rightarrow-3}\sqrt{x+7}=2 \] La funzione y=x+7 è definita per x>-7, quindi anche in -3 e in un suo intorno sufficientemente piccolo.
Occorre mostrare che, comunque si scelga \[ \varepsilon>0 \] arbitrariamente piccolo, la disuguaglianza \[ \left|\sqrt{x+7}-2\right|<\varepsilon \] sia verificata per tutti i valori di x di un opportuno intorno di -3. Risolviamo ora la disequazione nell’incognita x: \[ \left|\sqrt{x+7}-2\right|<\varepsilon \] \[ \sqrt{x+7}>2-\varepsilon\;\wedge\;\sqrt{x+7}<2+\varepsilon \] \[ x+7>\left(2-\varepsilon\right)^{2}\;\wedge\; x+7<\left(2+\varepsilon\right)^{2} \] \[ x>\left(2-\varepsilon\right)^{2}-7\;\wedge\; x<\left(2+\varepsilon\right)^{2}-7 \] Visto che epsilon è piccolo a piacere, \[ \left(2-\varepsilon\right)^{2} \] è un po' più piccolo di 4, e \[ \left(2+\varepsilon\right)^{2} \] è un po' più grande di 4, quindi \[ x>\left(2-\varepsilon\right)^{2}-7\;\wedge\; x<\left(2+\varepsilon\right)^{2}-7 \] ovvero \[ x\in\left(\left(2-\varepsilon\right)^{2}-7;\left(2+\varepsilon\right)^{2}-7\right) \] costituisce un intorno completo di -3, e possiamo affermare che il limite è verificato. Esercizio 3 \[ \lim_{x\rightarrow-6}\frac{x^{2}+9x+18}{3x+18}=-1 \] Scomponendo al numeratore e al denominatore otteniamo: \[ \lim_{x\rightarrow-6}\frac{\left(x+3\right)\left(x+6\right)}{3\left(x+6\right)}=-1 \] La funzione è definita in qualsiasi intorno di -6, eccetto per x=-6. Possiamo proseguire per \[ x\neq-6 \] e semplificare: \[ \lim_{x\rightarrow-6}\frac{x+3}{3}=-1 \] \[ \lim_{x\rightarrow-6}\left(\frac{1}{3}x+1\right)=-1 \] Occorre mostrare che, comunque si scelga \[ \varepsilon>0 \] arbitrariamente piccolo, la disuguaglianza \[ \left|\left(\frac{1}{3}x+1\right)-\left(-1\right)\right|<\varepsilon \] sia verificata per tutti i valori di x di un opportuno intorno di -6. Risolviamo ora la disequazione nell’incognita x: \[ \left|\frac{1}{3}x+1+1\right|<\varepsilon \] \[ \left|\frac{1}{3}x+2\right|<\varepsilon \] \[ \frac{1}{3}x+2>-\varepsilon\;\wedge\;\frac{1}{3}x+2<\varepsilon \] \[ \frac{1}{3}x>-2-\varepsilon\;\wedge\;\frac{1}{3}x<-2+\varepsilon \] \[ x>-6-3\varepsilon\;\wedge\; x<-6+3\varepsilon \] \[ x\in\left(-6-3\varepsilon;-6+3\varepsilon\right) \] Visto che quest'ultimo intervallo costituisce un intorno completo di -6, possiamo affermare che il limite è verificato. Esercizio 4 \[ \lim_{x\rightarrow-1}e^{x+1}=1 \] La funzione è definita in qualsiasi intorno di -1.
Occorre mostrare che, comunque si scelga \[ \varepsilon>0 \] arbitrariamente piccolo, la disuguaglianza \[ \left|e^{x+1}-1\right|<\varepsilon \] sia verificata per tutti i valori di x di un opportuno intorno di -1. Risolviamo ora la disequazione nell’incognita x: \[ \left|e^{x+1}-1\right|<\varepsilon \] \[ e^{x+1}-1>-\varepsilon\;\wedge\; e^{x+1}-1<\varepsilon \] \[ e^{x+1}>1-\varepsilon\;\wedge\; e^{x+1}<1+\varepsilon \] \[ \ln e^{x+1}>\ln\left(1-\varepsilon\right)\;\wedge\;\ln e^{x+1}<\ln\left(1+\varepsilon\right) \] \[ \left(x+1\right)\ln e>\ln\left(1-\varepsilon\right)\;\wedge\;\left(x+1\right)\ln e<\ln\left(1+\varepsilon\right) \] \[ x+1>\ln\left(1-\varepsilon\right)\;\wedge\; x+1<\ln\left(1+\varepsilon\right) \] \[ x>-1+\ln\left(1-\varepsilon\right)\;\wedge\; x<-1+\ln\left(1+\varepsilon\right) \] Visto che epsilon è piccolo a piacere, \[ \ln\left(1-\varepsilon\right) \] è un po' più piccolo di zero, e \[ \ln\left(1+\varepsilon\right) \] è un po' più grande di zero, quindi \[ x>-1+\ln\left(1-\varepsilon\right)\;\wedge\; x<-1+\ln\left(1+\varepsilon\right) \] ovvero \[ x\in\left(-1+\ln\left(1-\varepsilon\right);-1+\ln\left(1+\varepsilon\right)\right) \] costituisce un intorno completo di -1, e possiamo affermare che il limite è verificato.

9 thoughts on “Limite finito per x che tende ad un valore finito – Batteria 1

  1. scusate per la domanda che farò appena cioè non capisco il passaggio del secondo esercizio dove x<3epsilon-6 x>-3epsilon-6….cioè non ho capito perchè è diventato qst risultato

    1. XD
      Allora intanto è il 3o esercizio e non il 2o.
      Funziona così:1/3x+2<epsilon (allora) 3*(1/3x+2)<3*epsilon (allora) fa 1x+6<3epsilon (allora) x<3epsilon-6
      La stessa cosa funziona per l’altro risultato ma cambiato di segno

  2. scusate per la domanda che farò appena cioè non capisco il passaggio del secondo esercizio dove x<3epsilon-6 x>-3epsilon-6….cioè non ho capito perchè è diventato qst risultato

    1. Il testo dice “Verificare le seguenti uguaglianze, applicando la definizione…”. Se sostituisci non applichi la definizione, ma dei teoremi

  3. buon sera vorrei ringraziare per l’abondanzza di questi FANTASTICI esercizi ma ho una domanda e mi scuso per la mia ignoranza , ma cosa significa questo simbolo: ^ ?? grazie xD

Lascia un commento

Il tuo indirizzo email non sarà pubblicato.