Limite finito per x che tende all’infinito – Batteria 2

Verificare le seguenti uguaglianze, applicando la definizione di limite finito di una funzione per x che tende all’infinito:

Esercizio 1 \[ \lim_{x\rightarrow\infty}\frac{x^{2}+1}{3x^{2}+1}=\frac{1}{3} \] La funzione è definita per ogni x reale. Occorre mostrare che, comunque si scelga \[ \varepsilon>0 \] arbitrariamente piccolo, la disuguaglianza \[ \left|\frac{x^{2}+1}{3x^{2}+1}-\frac{1}{3}\right|<\varepsilon \] sia verificata per tutti i valori di x di un opportuno intorno di infinito. Risolviamo ora la disequazione nell’incognita x: \[ \left|\frac{x^{2}+1}{3x^{2}+1}-\frac{1}{3}\right|<\varepsilon\rightarrow\left|\frac{3x^{2}+3-3x^{2}-1}{3\left(3x^{2}+1\right)}\right|<\varepsilon \] \[ \left|\frac{2}{3x^{2}+1}\right|<3\varepsilon\rightarrow\frac{1}{\left|3x^{2}+1\right|}<\frac{3}{2}\varepsilon\rightarrow\left|3x^{2}+1\right|>\frac{2}{3\varepsilon} \] \[ 3x^{2}+1<-\frac{2}{3\varepsilon}\;\vee\;3x^{2}+1>+\frac{2}{3\varepsilon} \] Analizzando gli intervalli: \[ 3x^{2}+1<-\frac{2}{3\varepsilon} \] risulta impossibile, mentre \[ 3x^{2}+1>\frac{2}{3\varepsilon}\rightarrow x^{2}>\frac{2}{9\varepsilon}-\frac{1}{3} \] \[ x<-\sqrt{\frac{2}{9\varepsilon}-\frac{1}{3}}\;\vee\; x>+\sqrt{\frac{2}{9\varepsilon}-\frac{1}{3}} \] Otteniamo quindi \[ \left(-\infty;-\sqrt{\frac{2}{9\varepsilon}-\frac{1}{3}}\right)\cup\left(+\sqrt{\frac{2}{9\varepsilon}-\frac{1}{3}};+\infty\right) \] Visto che quest’ultimo intervallo costituisce un intorno di infinito, possiamo affermare che il limite è verificato.

Esercizio 2 \[ \lim_{x\rightarrow\infty}\sin\frac{1}{x-2}=0 \] La funzione è definita per \[ x\neq2 \] Occorre mostrare che, comunque si scelga \[ \varepsilon>0 \] arbitrariamente piccolo, la disuguaglianza \[ \left|\sin\frac{1}{x-2}-0\right|<\varepsilon \] sia verificata per tutti i valori di x di un opportuno intorno di infinito. Risolviamo ora la disequazione nell’incognita x: \[ \left|\sin\frac{1}{x-2}-0\right|<\varepsilon\rightarrow\left|\sin\frac{1}{x-2}\right|<\varepsilon \] \[ \sin\frac{1}{x-2}>-\varepsilon\;\wedge\;\sin\frac{1}{x-2}<\varepsilon \] \[ \frac{1}{x-2}>\arcsin\left(-\varepsilon\right)\;\wedge\;\frac{1}{x-2}<\arcsin\varepsilon \] \[ x-2<\frac{1}{\arcsin\left(-\varepsilon\right)}\;\vee\; x-2>\frac{1}{\arcsin\varepsilon} \] \[ x<2+\frac{1}{\arcsin\left(-\varepsilon\right)}\;\vee\; x>2+\frac{1}{\arcsin\varepsilon} \] Otteniamo quindi \[ \left(-\infty;2+\frac{1}{\arcsin\left(-\varepsilon\right)}\right)\cup\left(2+\frac{1}{\arcsin\varepsilon};+\infty\right) \] Visto che quest’ultimo intervallo costituisce un intorno di infinito, possiamo affermare che il limite è verificato.

Esercizio 3 \[ \lim_{x\rightarrow+-\infty}\frac{2+\sqrt{-x}}{3+\sqrt{-x}}=1 \] La funzione è definita per x<0. Occorre mostrare che, comunque si scelga \[ \varepsilon>0 \] arbitrariamente piccolo, la disuguaglianza \[ \left|\frac{2+\sqrt{-x}}{3+\sqrt{-x}}-1\right|<\varepsilon \] sia verificata per tutti i valori di x di un opportuno intorno di meno infinito. Risolviamo ora la disequazione nell’incognita x: \[ \left|\frac{2+\sqrt{-x}}{3+\sqrt{-x}}-1\right|<\varepsilon\rightarrow\left|\frac{2+\sqrt{-x}-3-\sqrt{-x}}{3+\sqrt{-x}}\right|<\varepsilon \] \[ \left|\frac{-1}{3+\sqrt{-x}}\right|<\varepsilon\rightarrow\frac{1}{\left|3+\sqrt{-x}\right|}<\varepsilon\rightarrow\left|3+\sqrt{-x}\right|>\frac{1}{\varepsilon} \] \[ 3+\sqrt{-x}<-\frac{1}{\varepsilon}\;\vee\;3+\sqrt{-x}>+\frac{1}{\varepsilon} \] \[ \sqrt{-x}<-3-\frac{1}{\varepsilon}\;\vee\;\sqrt{-x}>-3+\frac{1}{\varepsilon} \] Analizzando gli intervalli: \[ \sqrt{-x}<-3-\frac{1}{\varepsilon} \] risulta impossibile, mentre \[ \sqrt{-x}>-3+\frac{1}{\varepsilon}\rightarrow-x>\left(-3+\frac{1}{\varepsilon}\right)^{2}\rightarrow x<-\left(-3+\frac{1}{\varepsilon}\right)^{2} \] Otteniamo quindi \[ \left(-\infty;-\left(-3+\frac{1}{\varepsilon}\right)^{2}\right) \] Visto che quest'ultimo intervallo costituisce un intorno di meno infinito, possiamo affermare che il limite è verificato. Esercizio 4 \[ \lim_{x\rightarrow+\infty}\sqrt{x^{2}+2}-x=0^{+} \] La funzione è definita per ogni x reale. Occorre mostrare che, comunque si scelga \[ \varepsilon>0 \] arbitrariamente piccolo, le disuguaglianze \[ \sqrt{x^{2}+2}-x-0>0\;\vee\;\sqrt{x^{2}+2}-x-0<\varepsilon \] sia verificata per tutti i valori di x di un opportuno intorno di +infinito. Risolviamo ora la prima disequazione nell’incognita x: \[ \sqrt{x^{2}+2}-x-0>0\rightarrow\sqrt{x^{2}+2}-x>0 \] \[ \sqrt{x^{2}+2}>x\rightarrow x^{2}+2>x^{2}\rightarrow2>0\rightarrow S=\mathbb{R} \] Visto che questa prima disequazione è sempre verificata, l’intervallo cercato sarà coincidente con le soluzioni della seconda disequazione: \[ \sqrt{x^{2}+2}-x-0<\varepsilon\rightarrow\sqrt{x^{2}+2}<\varepsilon+x \] \[ \sqrt{x^{2}+2}<\varepsilon+x\rightarrow x^{2}+2<\left(\varepsilon+x\right)^{2} \] \[ -2\varepsilon x<\varepsilon^{2}-2\rightarrow x>\frac{2-\varepsilon^{2}}{2\varepsilon}\rightarrow x>\frac{1}{\varepsilon}-\frac{1}{2}\varepsilon \] Otteniamo quindi \[ x\in\left(\frac{1}{\varepsilon}-\frac{1}{2}\varepsilon;+\infty\right) \] Visto che quest’ultimo intervallo costituisce un intorno di +infinito, possiamo affermare che il limite è verificato.

5 thoughts on “Limite finito per x che tende all’infinito – Batteria 2

  1. Salve Albert, vorrei prima di tutto ringraziarla per la disponibilità di tutti questi esercizi.Ma ho una domanda alla quale spero possa rispondermi al più presto.Nel primo esercizio, dopo ever invertito l’intera disuguaglianza, risulta: 3×2+1<−2/3ε ∨ 3×2+1>+2/3ε.Perchè allora nel secondo esercizio risulta: sin1x−2>−ε ∧ sin1x−2ε.Grazie in anticipo, cordiali saluti.

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