Limiti di funzioni razionali fratte – Batteria 1

Calcolare i seguenti limiti:

Esercizio 1 \[ \lim_{x\rightarrow1}\frac{x-4}{2x-5} \] Per x=1 si ha \[ 2x-5=-3\neq0 \] quindi la funzione è continua in x=1, e il limite per x tendente a 1 della stessa sarà coincidente con il valore della funzione in x=1: \[ \lim_{x\rightarrow1}\frac{x-4}{2x-5}=\frac{1-4}{2\cdot1-5}=\frac{-3}{-3}=1 \] Esercizio 2 \[ \lim_{x\rightarrow2^{-}}\frac{2}{x-2} \] Per x=2 si ha \[ x-2=0 \] quindi per x=2 si annulla il denominatore, ma non il numeratore. Quindi: \[ \lim_{x\rightarrow2^{-}}\frac{2}{x-2}=\frac{2}{2^{-}-2}=\frac{2}{0^{-}}=-\infty \] Esercizio 3 \[ \lim_{x\rightarrow0}\frac{x^{2}-2x}{x} \] Per x=0 si ha \[ x^{2}-2x=0 \] quindi per x=0 si annulla sia il denominatore, sia il numeratore. Procediamo scomponendo il numeratore: \[ \lim_{x\rightarrow0}\frac{x^{2}-2x}{x}=\lim_{x\rightarrow0}\frac{x\left(x-2\right)}{x}= \] \[ =\lim_{x\rightarrow0}\left(x-2\right)=0-2=-2 \] Quindi \[ \lim_{x\rightarrow0}\frac{x^{2}-2x}{x}=-2 \] Esercizio 4 \[ \lim_{x\rightarrow-\frac{1}{5}}\frac{10x^{2}-13x-3}{5x^{2}-9x-2} \] Per x=-1/5 il numeratore vale \[ 10x^{2}-13x-3=\frac{2}{5}+\frac{13}{5}-3=\frac{2+13-15}{5}=0 \] e il denominatore \[ 5x^{2}-9x-2=\frac{1}{5}+\frac{9}{5}-2=\frac{1+9-10}{5}=0 \] quindi per x=0 si annulla sia il denominatore, sia il numeratore. Procediamo scomponendo, ricordandoci che, visto che si annullano per x=-1/5, sia numeratore che denominatore sono divisibili per il binomio (x+1/5). Le divisioni con Ruffini danno come risultati \[ \left(10x^{2}-13x-3\right):\left(x+\frac{1}{5}\right)=\left(10x-15\right)=5\left(2x-3\right) \] \[ \left(5x^{2}-9x-2\right):\left(x+\frac{1}{5}\right)=\left(5x-10\right)=5\left(x-2\right) \] Quindi \[ \lim_{x\rightarrow-\frac{1}{5}}\frac{10x^{2}-13x-3}{5x^{2}-9x-2}=\lim_{x\rightarrow-\frac{1}{5}}\frac{5\left(2x-3\right)\left(x+\frac{1}{5}\right)}{5\left(x-2\right)\left(x+\frac{1}{5}\right)}= \] \[ =\lim_{x\rightarrow-\frac{1}{5}}\frac{2x-3}{x-2}=\left(-\frac{2}{5}-3\right):\left(-\frac{1}{5}-2\right)=-\frac{17}{5}\cdot\left(-\frac{5}{11}\right)=\frac{17}{11} \]

10 thoughts on “Limiti di funzioni razionali fratte – Batteria 1

  1. Ciao a tutti! Avrei un problemino: come posso calcolare (passaggio per passaggio) il limite:
    lim per x –> +infinito di k / (e^((ln x) / 2n) , con k>0 ?

    Grazie mille

    1. de l’hopital per due volte e ottieni:

      e^(4x-7) / e^(4x-15) =
      = (e^(4x) * e^(-7)) / (e^(4x) * e^(-15)) =
      = e^(-7) / e^(-15) = e^8

  2. Si infatti, brava Eliana:

    @Anonimo:

    Per x che tende a – inf nel primo limite: (x+1)/(x-2) tende a 1, quindi log1=0. Il primo limite tende a 0.

    Per x che tende a – inf nel secondo limite: 1/(2x+1) tende a 0, quindi sen0=0. Il secondo limite tende a 0.

  3. Scusa, forse sbaglio.. ma il log (in base qualsiasi) di 1 non è zero? Quindi nel caso del primo limite, per x che tende a -infinito, l’argomento giustamente tende a 1 ed il risultato finale dovrebbe essere 0 no?

  4. Scusa..forse non li ho scritti bene… nel primo la frazione x+1/x-2 è l argomento del logaritmo.
    Nel secondo,invece, la frazione è 1/(2x-1)

  5. Ciao Anonimo,

    se ho capito bene il primo limite è:
    “Limite per x che tende a meno infinito di logx +1/x -2”
    La funzione logx non esiste per x che tende a meno infinito, perchè ha dominio x>0. Quindi il limite è impossibile, senza significato.

    Mentre il secondo:
    “Limite per x che tende a meno infinito di sen(1/2 x) +1”
    Anche questo limite non è definito (impossibile) perchè la funzione seno è periodica, e quando il suo argomento (x, 1/2x, 1/2x+1, non ho ben capito qual’è ma non importa) tende a meno infinito la funzione seno continua ad oscillare e non tende ad alcun valore.

  6. Ciao!! Ho appena scoperto il tuo sito e non posso trattenermi..devo postare due limiti che mi stanno facendo impazzire..sperando nella tua risposta.

    lim x– a – inf log x+1/x-2

    lim x– a – inf sen 1/2x+1

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