Esercizi di riepilogo sulle derivate – Batteria 1

Ricordando le derivate fondamentali, applicando i teoremi sul calcolo della derivata di somma, prodotto e quoziente di funzioni derivabili, e/o applicando il teorema di derivazione delle funzioni composte o le regole che ne conseguono, calcolare le derivate delle seguenti funzioni:

Esercizio 1 \[ f\left(x\right)=\frac{\sqrt{2-x^{2}}}{x} \] Soluzione \[ f’\left(x\right)=\left\{ \left[\frac{1}{2\sqrt{2-x^{2}}}\cdot\left(-2x\right)\right]\cdot x-\sqrt{2-x^{2}}\cdot1\right\} \cdot\frac{1}{x^{2}} \] \[ f’\left(x\right)=\left(-\frac{x^{2}}{\sqrt{2-x^{2}}}-\sqrt{2-x^{2}}\right)\cdot\frac{1}{x^{2}} \] \[ f’\left(x\right)=\frac{-x^{2}-2+x^{2}}{\sqrt{2-x^{2}}}\cdot\frac{1}{x^{2}} \] \[ f’\left(x\right)=-\frac{2}{x^{2}\sqrt{2-x^{2}}} \] Esercizio 2 \[ f\left(x\right)=\ln\left(x^{2}-3x+1\right)^{2} \] Soluzione \[ f’\left(x\right)=\frac{1}{\left(x^{2}-3x+1\right)^{2}}\cdot2\left(x^{2}-3x+1\right)\cdot\left(2x-3\right) \] \[ f’\left(x\right)=\frac{2\left(2x-3\right)}{x^{2}-3x+1} \] Esercizio 3 \[ f\left(x\right)=\sqrt[5]{\sin^{3}x} \] Soluzione \[ f\left(x\right)=\sqrt[5]{\sin^{3}x}=\left(\sin x\right)^{\frac{3}{5}} \] \[ f’\left(x\right)=\frac{3}{5}\left(\sin x\right)^{\frac{3}{5}-1}\cdot\cos x \] \[ f’\left(x\right)=\frac{3}{5}\left(\sin x\right)^{-\frac{2}{5}}\cdot\cos x \] \[ f’\left(x\right)=\frac{3\cos x}{5\left(\sin x\right)^{\frac{2}{5}}} \] \[ f’\left(x\right)=\frac{3\cos x}{5\cdot\sqrt[5]{\sin^{2}x}} \] Esercizio 4 \[ f\left(x\right)=\tan e^{x^{3}+3} \] Soluzione \[ f’\left(x\right)=\frac{1}{\cos^{2}e^{x^{3}+3}}\cdot e^{x^{3}+3}\cdot3x^{2} \] \[ f’\left(x\right)=\frac{3x^{2}e^{x^{3}+3}}{\cos^{2}e^{x^{3}+3}} \]

26 thoughts on “Esercizi di riepilogo sulle derivate – Batteria 1

  1. Ciao! Volevo farti notare un errore nel primo esercizio.
    Nel momento in cui togli la radice al denominatore, osserva bene che non possiamo eliderla, dal momento che il quadrato dell’argomento sotto radice è riferito alla sola x, e non all’intero polinomio. Questo cambia solo lo svolgimento della derivata ovviamente, e non la derivazione in sè.
    Grazie mille =)

  2. Ciao magari la domanda è stupida ma sto cominciando ora con le derivate, perché nell’esercizio 4 si moltiplica il tutto per la derivata dell’esponente (3x^2)?
    Ho letto sempre qui le regole di derivazione e le derivate immediate ma non capisco quell’ultimo termine!

    Grazie e complimenti per il sito.

    1. Perchè in questo caso la funzione di x sta solo all’esponente, mentre alla base hai solo “e” (un numero, una costante); il tutto inglobato in un’altra funzione (la tangente)

  3. Scusa, io non capisco cosa esegui nell’esercizio due, per passare da questa formula:
    f′(x)=ln(x2−3x+1)^2
    alla successiva priva del logaritmo

  4. ciao mi aiuti con questi esercizi lunedi ho l’esame :(
    f(x) radice di x^2-5
    f(x) x^2/x-3
    f(x) 1/ radice di x -1

    help me please :(((((

  5. Ciao Albert
    scusa, ma all’esercizio 1, al primo passaggio, perchè alla fine moltiplichi per 1/x al quadrato? Quale regola è? Graziee :)

  6. Ciao:

    il risultato dell’esercizio 4 non è: 3x^2e^((x^3)+3)/cos^2(e^((x^3)+3))

    Non dovrebbe dunque mancare l’esponente 2 alla derivazione dell’argomento dell’esponenziale essendo appunto la sua derivata pari a 3x^2 e non solo 3x?

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