Massimi e minimi – Problema 11

Inscrivere in un triangolo, di base b e altezza h, il rettangolo avente la base su b e di area massima.

Soluzione

Rappresentazione grafica:

Vista la figura, chiamiamo: \[ \overline{HF}=\overline{KE}=x \] \[ \overline{KH}=\overline{EF}=y \] \[ \overline{HB}=b \] \[ \overline{AH}=h \] Consideriamo il rettangolo GFED. La sua area vale \[ A_{2}=xy \] Scriviamo y in funzione di x, procedendo come segue. Consideriamo i triangoli rettangoli simili tra loro AHB e EFB, vale la seguente proporzione: \[ h:y=b:\left(b-x\right) \] Otteniamo \[ y=\frac{h\left(b-x\right)}{b} \] Ora possiamo scrivere l’area 2 in funzione di una sola variabile (x): \[ A_{2}\left(x\right)=x\frac{h\left(b-x\right)}{b} \] \[ A_{2}\left(x\right)=\frac{hbx-hx^{2}}{b} \] \[ A_{2}\left(x\right)=hx-\frac{h}{b}x^{2} \] Calcoliamo la derivata: \[ \frac{dA_{2}}{dx}=h-\frac{2hx}{b} \] Studiamone il segno: \[ \frac{dA_{2}}{dx}\geq0\rightarrow h-\frac{2hx}{b}\geq0 \] Otteniamo: \[ \frac{dA_{2}}{dx}\geq0\rightarrow x\leq\frac{bh}{2h} \] \[ \frac{dA_{2}}{dx}\geq0\rightarrow x\leq\frac{b}{2} \] Abbiamo trovato l’intervallo di x per il quale la derivata della funzione A2 è positiva. La funzione A2(x) è crescente per x minore di b/2, decrescente per x maggiore di b/2, ha quindi un massimo per \[ x=\overline{HF}=\frac{b}{2} \] \[ y=\frac{h\left(b-x\right)}{b}\rightarrow y=\overline{EF}=\frac{h}{2} \] Lo stesso ragionamento fatto fin qui si può fare per l’area A1, e otteniamo \[ \overline{GH}=\frac{\overline{CH}}{2} \] \[ \overline{DG}=\frac{h}{2} \] L’area massima totale del rettangolo inscritto GFED risulta quindi \[ A=A_{1}+A_{2} \] \[ A=\frac{\overline{HB}}{2}\cdot\frac{h}{2}+\frac{\overline{CH}}{2}\cdot\frac{h}{2} \] \[ A=\frac{h}{2}\left(\frac{\overline{HB}+\overline{CH}}{2}\right) \] \[ A=\frac{h}{2}\left(\frac{\overline{AB}}{2}\right) \] \[ A=\frac{1}{2}\left(\frac{\overline{AB}\cdot h}{2}\right) \] L’area massima del rettangolo inscritto è la metà dell’area del triangolo ABC.

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