Massimi e minimi – Problema 2

Tra tutti triangoli rettangoli aventi la medesima ipotenusa di misura i, qual è quello per cui è massima la somma dell’altezza relativa all’ipotenusa e di un cateto?

Soluzione

Chiamiamo h l’altezza relativa all’ipotenusa. Chiamiamo a e b i cateti. Poniamo \[ s=h+b \] Questa funzione ha due variabili (h e b), ma possiamo scrivere h in funzione di b e i: \[ A=\frac{ab}{2}=\frac{b\sqrt{i^{2}-b^{2}}}{2} \] ma anche \[ A=\frac{ih}{2} \] quindi \[ \frac{b\sqrt{i^{2}-b^{2}}}{2}=\frac{ih}{2}\rightarrow h=\frac{b\sqrt{i^{2}-b^{2}}}{i} \] Ora la nostra funzione somma ha una sola variabile (b): \[ s=h+b \] \[ s\left(b\right)=\frac{b\sqrt{i^{2}-b^{2}}}{i}+b \] Calcoliamo la derivata: \[ \frac{ds}{db}=\frac{1}{i}\left(\sqrt{i^{2}-b^{2}}+b\frac{-2b}{2\sqrt{i^{2}-b^{2}}}\right)+1 \] \[ \frac{ds}{db}=\frac{1}{i}\left(\sqrt{i^{2}-b^{2}}-\frac{b^{2}}{\sqrt{i^{2}-b^{2}}}\right)+1 \] \[ \frac{ds}{db}=\frac{i^{2}-2b^{2}}{i\sqrt{i^{2}-b^{2}}}+1 \] \[ \frac{ds}{db}=\frac{i^{2}-2b^{2}+i\sqrt{i^{2}-b^{2}}}{i\sqrt{i^{2}-b^{2}}} \] Studiamone il segno: \[ \frac{ds}{db}\geq0 \] \[ i^{2}-2b^{2}+i\sqrt{i^{2}-b^{2}}\geq0 \] \[ i\sqrt{i^{2}-b^{2}}\geq2b^{2}-i^{2} \] \[ i^{4}-i^{2}b^{2}\geq4b^{4}+i^{4}-4i^{2}b^{2} \] \[ 0\geq4b^{4}-3i^{2}b^{2} \] \[ 4b^{2}-3i^{2}\leq0 \] \[ b\leq\frac{\sqrt{3}}{2}i \] Abbiamo trovato l’intervallo di b per il quale la derivata della funzione somma è positiva. La funzione s=h+b ha quindi un massimo per \[ b=\frac{\sqrt{3}}{2}i \] e per \[ a=\sqrt{i^{2}-\frac{3}{4}i^{2}}=\frac{1}{2}i \]

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