Massimi e minimi – Problema 4

Tra tutti triangoli rettangoli aventi costante la somma dei cateti, qual è quello di minima ipotenusa?

Soluzione

Chiamiamo a e b i cateti. Chiamiamo i l’ipotenusa. Per il teorema di Pitagora l’ipotenusa vale \[ i=\sqrt{a^{2}+b^{2}} \] Questa funzione ha due variabili (a e b), ma possiamo scrivere a in funzione di b e s, grazie al fatto che risulta costante la somma dei cateti: \[ s=a+b\rightarrow a=s-b \] Ora la nostra funzione ipotenusa ha una sola variabile (b): \[ i\left(b\right)=\sqrt{a^{2}+b^{2}} \] \[ i\left(b\right)=\sqrt{\left(s-b\right)^{2}+b^{2}} \] \[ i\left(b\right)=\sqrt{s^{2}+b^{2}-2bs+b^{2}} \] \[ i\left(b\right)=\sqrt{s^{2}-2bs+2b^{2}} \] Calcoliamo la derivata: \[ \frac{di}{db}=\frac{4b-2s}{2\sqrt{s^{2}-2bs+2b^{2}}} \] \[ \frac{di}{db}=\frac{2\left(2b-s\right)}{2\sqrt{s^{2}-2bs+2b^{2}}} \] \[ \frac{di}{db}=\frac{2b-s}{\sqrt{s^{2}-2bs+2b^{2}}} \] Studiamone il segno: \[ \frac{di}{db}\geq0\rightarrow2b-s\geq0 \] essendo il denominatore sempre positivo perchè somma di quadrati. Risulta quindi \[ b\geq\frac{1}{2}s \] Abbiamo trovato l’intervallo di b per il quale la derivata della funzione ipotenusa è positiva. La funzione i(b) è crescente per b>s/2, decrescente per b minore di s/2, ha quindi un minimo per \[ b=\frac{1}{2}s \] \[ b=\frac{1}{2}\left(a+b\right) \] \[ b=\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}b\rightarrow a=b \] La funzione ipotenusa ha quindi un minimo quando il triangolo rettangolo è anche isoscele: \[ a=b \]

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