Massimi e minimi – Problema 6

Tra tutti triangoli rettangoli aventi costante la somma tra ipotenusa e un cateto, qual è quello di area massima?

Soluzione

Chiamiamo a e b i cateti. Chiamiamo i l’ipotenusa. Risulta costante la somma \[ s=i+b\rightarrow i=s-b \] Sapendo che l’area del triangolo è \[ A=\frac{ab}{2} \] possiamo scrivere a in funzione di b e di i, grazie al teorema di pitagora \[ a=\sqrt{i^{2}-b^{2}} \] Ricordandoci dal primo passaggio che \[ i=s-b \] troviamo a, e di conseguenza anche l’area A, in funzione di b e s (che è costante): \[ a=\sqrt{\left(s-b\right)^{2}-b^{2}} \] \[ A\left(b\right)=\frac{b\sqrt{\left(s-b\right)^{2}-b^{2}}}{2} \] Ora la nostra funzione A ha una sola variabile (b): \[ A\left(b\right)=\frac{b\sqrt{s^{2}+b^{2}-2sb-b^{2}}}{2} \] \[ A\left(b\right)=\frac{b\sqrt{s^{2}-2sb}}{2} \] Calcoliamo la derivata: \[ \frac{dA}{db}=\frac{1}{2}\left(\sqrt{s^{2}-2sb}+b\frac{-2s}{2\sqrt{s^{2}-2sb}}\right) \] \[ \frac{dA}{db}=\frac{1}{2}\left(\sqrt{s^{2}-2sb}-\frac{sb}{\sqrt{s^{2}-2sb}}\right) \] \[ \frac{dA}{db}=\frac{s^{2}-2sb-sb}{2\sqrt{s^{2}-2sb}} \] \[ \frac{dA}{db}=\frac{s^{2}-3sb}{2\sqrt{s^{2}-2sb}} \] Studiamone il segno: \[ \frac{dA}{db}\geq0\rightarrow s^{2}-3sb\geq0 \] perchè il denominatore è positivo. Risulta quindi \[ b\leq\frac{1}{3}s \] Abbiamo trovato l’intervallo di b per il quale la derivata della funzione A è positiva. La funzione A(b) è crescente per b minore di s/3, decrescente per b maggiore di s/3, ha quindi un massimo per \[ b=\frac{1}{3}s \] \[ b=\frac{1}{3}\left(i+b\right) \] \[ b=\frac{1}{3}i+\frac{1}{3}b\rightarrow b=\frac{1}{2}i \] \[ i=2b \] La funzione Area ha quindi un massimo quando il triangolo rettangolo ha l’ipotenusa doppia del cateto.

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