Massimi e minimi – Problema 9

Circoscrivere ad un cerchio di raggio r il rombo di area minima.

Soluzione

Rappresentiamo un rombo qualunque circoscritto ad una circonferenza:

Vista la figura, chiamiamo \[ \overline{OH}=r\;;\;\overline{OA}=a\;;\;\overline{OB}=b \] \[ \overline{AC}=2a \] \[ \overline{BD}=2b \] \[ O\hat{A}B=x \] \[ O\hat{B}A=90^{o}-x \] Dal triangolo rettangolo AOH ricaviamo a in funzione di r e di x: \[ a=\frac{r}{\sin x} \] Dal triangolo rettangolo OBH ricaviamo b in funzione di r e di x: \[ b=\frac{r}{\sin\left(90-x\right)} \] L’area del rombo vale \[ A=\frac{2a\cdot2b}{2}=2ab \] Sostituendo a e b in funzione di x la nostra funzione A ha una sola variabile (x): \[ A\left(x\right)=2\cdot\frac{r}{\sin x}\cdot\frac{r}{\sin\left(90-x\right)} \] \[ A\left(x\right)=\frac{2r^{2}}{\sin x\sin\left(90-x\right)} \] \[ A\left(x\right)=\frac{2r^{2}}{\sin x\cos x} \] Calcoliamo la derivata: \[ \frac{dA}{dx}=\frac{-2r^{2}\left(\cos^{2}x-\sin^{2}x\right)}{\left(\sin x\cos x\right)^{2}} \] \[ \frac{dA}{dx}=\frac{2r^{2}\left(\sin^{2}x-\cos^{2}x\right)}{\left(\sin x\cos x\right)^{2}} \] Studiamone il segno: \[ \frac{dA}{dx}\geq0\rightarrow\sin^{2}x-\cos^{2}x\geq0 \] perchè il denominatore è positivo. Risulta quindi \[ 1-2\cos^{2}x\geq0\rightarrow\cos x\leq\frac{\sqrt{2}}{2} \] \[ x\geq45^{o} \] Abbiamo trovato l’intervallo di x per il quale la derivata della funzione A è positiva. La funzione A(x) è crescente per x maggiore di 45 gradi, decrescente per x minore di 45 gradi, ha quindi un minimo per \[ x=45^{o} \] Quindi \[ 2x=90^{o} \] e il rombo circoscritto per il quale si minimizza l’area è il quadrato.

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