Integrali di funzioni razionali fratte – Batteria 5

Calcolare i seguenti integrali:

Esercizio 1

\[ \int\frac{x^{2}-6x+4}{x^{2}+2x+4}dx \] Numeratore e denominatore hanno lo stesso grado. In particolare abbiamo grado 2 al numeratore e grado 2 al denominatore. Possiamo procedere con la divisione tra polinomi: \[ \left(x^{2}-6x+4\right):\left(x^{2}+2x+4\right) \] \[ Q_{1}=x^{2}:x^{2}=1 \] \[ R_{1}=\left(x^{2}-6x+4\right)-Q_{1}\left(x^{2}+2x+4\right) \] \[ R_{1}=\left(x^{2}-6x+4\right)-\left(x^{2}+2x+4\right)=-8x \] Il resto ha grado inferiore al polinomio divisore, quindi: \[ Q=Q_{1}=1 \] \[ R=R_{1}=-8x \] Ricordando che \[ \frac{N\left(x\right)}{D\left(x\right)}=Q\left(x\right)+\frac{R\left(x\right)}{D\left(x\right)} \] il nostro integrale si può scrivere come \[ \int\frac{x^{2}-6x+4}{x^{2}+2x+4}dx=\int dx+\int\frac{-8x}{x^{2}+2x+4}dx \] \[ \int\frac{x^{2}-6x+4}{x^{2}+2x+4}dx=x+C_{1}-\int\frac{8x}{x^{2}+2x+4}dx \] Risolviamo ora il secondo integrale: \[ \int\frac{8x}{x^{2}+2x+4}dx \] Al denominatore abbiamo un polinomio di grado superiore rispetto a quello del numeratore. In particolare abbiamo grado 1 al numeratore e grado 2 al denominatore. Inoltre il denominatore ha \[ \triangle<0 \] Quindi possiamo procedere come segue: \[ \int\frac{8x}{x^{2}+2x+4}dx=4\int\frac{2x+2-2}{x^{2}+2x+4}dx \] \[ \int\frac{8x}{x^{2}+2x+4}dx=4\int\frac{2x+2}{x^{2}+2x+4}dx-8\int\frac{1}{x^{2}+2x+4}dx \] \[ \int\frac{8x}{x^{2}+2x+4}dx=4\ln\left(x^{2}+2x+4\right)-8\int\frac{1}{\left(x+1\right)^{2}+3}dx \] \[ \int\frac{8x}{x^{2}+2x+4}dx=4\ln\left(x^{2}+2x+4\right)-\frac{8}{3}\int\frac{1}{\left(\frac{x+1}{\sqrt{3}}\right)^{2}+1}dx \] \[ \int\frac{8x}{x^{2}+2x+4}dx=4\ln\left(x^{2}+2x+4\right)-\frac{8}{\sqrt{3}}\int\frac{\frac{1}{\sqrt{3}}}{\left(\frac{x+1}{\sqrt{3}}\right)^{2}+1}dx \] \[ \int\frac{8x}{x^{2}+2x+4}dx=4\ln\left(x^{2}+2x+4\right)-\frac{8}{\sqrt{3}}\arctan\left(\frac{x+1}{\sqrt{3}}\right)+C_{2} \] L'integrale iniziale diventa: \[ \int\frac{x^{2}-6x+4}{x^{2}+2x+4}dx=x-4\ln\left(x^{2}+2x+4\right)+\frac{8}{\sqrt{3}}\arctan\left(\frac{x+1}{\sqrt{3}}\right)+C \] Esercizio 2

\[ \int\frac{x^{4}-3x^{2}-1}{x^{3}-1}dx \] Il numeratore ha grado superiore rispetto al denominatore. In particolare abbiamo grado 4 al numeratore e grado 3 al denominatore. Possiamo procedere con la divisione tra polinomi: \[ \left(x^{4}-3x^{2}-1\right):\left(x^{3}-1\right) \] \[ Q_{1}=x^{4}:x^{3}=x \] \[ R_{1}=\left(x^{4}-3x^{2}-1\right)-Q_{1}\left(x^{3}-1\right) \] \[ R_{1}=\left(x^{4}-3x^{2}-1\right)-x\left(x^{3}-1\right) \] \[ R_{1}=-3x^{2}+x-1 \] Il resto ha grado inferiore rispetto al polinomio divisore, quindi: \[ Q=Q_{1}=x \] \[ R=R_{1}=-3x^{2}+x-1 \] Ricordando che \[ \frac{N\left(x\right)}{D\left(x\right)}=Q\left(x\right)+\frac{R\left(x\right)}{D\left(x\right)} \] il nostro integrale si può scrivere come \[ \int\frac{x^{4}-3x^{2}-1}{x^{3}-1}dx=\int xdx+\int\frac{-3x^{2}+x-1}{x^{3}-1}dx \] \[ \int\frac{x^{4}-3x^{2}-1}{x^{3}-1}dx=\frac{x^{2}}{2}+C_{1}+\int\frac{-3x^{2}+x-1}{x^{3}-1}dx \] Per risolvere il secondo integrale \[ \int\frac{-3x^{2}+x-1}{x^{3}-1}dx \] procediamo come segue: \[ \int\frac{-3x^{2}+x-1}{x^{3}-1}dx=-\int\frac{3x^{2}}{x^{3}-1}dx+\int\frac{x-1}{x^{3}-1}dx \] \[ \int\frac{-3x^{2}+x-1}{x^{3}-1}dx=-\ln\left|x^{3}-1\right|+C_{2}+\int\frac{x-1}{\left(x-1\right)\left(x^{2}+x+1\right)}dx \] \[ \int\frac{-3x^{2}+x-1}{x^{3}-1}dx=-\ln\left|x^{3}-1\right|+C_{2}+\int\frac{1}{x^{2}+x+1}dx \] \[ \int\frac{-3x^{2}+x-1}{x^{3}-1}dx=-\ln\left|x^{3}-1\right|+C_{2}+\int\frac{1}{x^{2}+x+\frac{1}{4}+\frac{3}{4}}dx \] \[ \int\frac{-3x^{2}+x-1}{x^{3}-1}dx=-\ln\left|x^{3}-1\right|+C_{2}+\int\frac{1}{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}+\frac{3}{4}}dx \] \[ \int\frac{-3x^{2}+x-1}{x^{3}-1}dx=-\ln\left|x^{3}-1\right|+C_{2}+\frac{4}{3}\int\frac{1}{\frac{4}{3}\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}+1}dx \] \[ \int\frac{-3x^{2}+x-1}{x^{3}-1}dx=-\ln\left|x^{3}-1\right|+C_{2}+\frac{4}{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\int\frac{\frac{2}{\sqrt{3}}}{\left(\frac{2x+1}{\sqrt{3}}\right)^{2}+1}dx \] \[ \int\frac{-3x^{2}+x-1}{x^{3}-1}dx=-\ln\left|x^{3}-1\right|+\frac{2}{\sqrt{3}}\arctan\left(\frac{2x+1}{\sqrt{3}}\right)+C_{3} \] Tornando al nostro integrale iniziale: \[ \int\frac{x^{4}-3x^{2}-1}{x^{3}-1}dx=\frac{x^{2}}{2}+C_{1}+\int\frac{-3x^{2}+x-1}{x^{3}-1}dx \] \[ \int\frac{x^{4}-3x^{2}-1}{x^{3}-1}dx=\frac{x^{2}}{2}-\ln\left|x^{3}-1\right|+\frac{2}{\sqrt{3}}\arctan\left(\frac{2x+1}{\sqrt{3}}\right)+C \] Esercizio 3

\[ \int\frac{dx}{x^{3}+1} \] Operiamo sulla funzione integranda scomponendo il denominatore \[ \frac{1}{x^{3}+1}=\frac{1}{\left(x+1\right)\left(x^{2}-x+1\right)} \] e determinando tre coefficienti numerici A, B e C tali che \[ \frac{1}{x^{3}+1}=\frac{A}{x+1}+\frac{Bx+C}{x^{2}-x+1} \] \[ \frac{1}{x^{3}+1}=\frac{Ax^{2}-Ax+A+Bx^{2}+Cx+Bx+C}{x^{3}+1} \] \[ \frac{1}{x^{3}+1}=\frac{\left(A+B\right)x^{2}+\left(-A+B+C\right)x+A+C}{x^{3}+1} \] Otteniamo: \[ \left\{ \begin{array}{c} A+B=0\\ -A+B+C=0\\ A+C=1 \end{array}\right. \] \[ \left\{ \begin{array}{c} A=\frac{1}{3}\\ B=-\frac{1}{3}\\ C=\frac{2}{3} \end{array}\right. \] Il nostro integrale iniziale diventa \[ \int\frac{dx}{x^{3}+1}= \] \[ =\frac{1}{3}\int\frac{1}{x+1}dx-\frac{1}{3}\int\frac{x-2}{x^{2}-x+1}dx= \] \[ =\frac{1}{3}\ln\left|x+1\right|+C_{1}-\frac{1}{6}\int\frac{2x-4}{x^{2}-x+1}dx= \] \[ =\frac{1}{3}\ln\left|x+1\right|+C_{1}-\frac{1}{6}\int\frac{2x-1}{x^{2}-x+1}dx+\frac{1}{2}\int\frac{1}{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}+\frac{3}{4}}dx= \] \[ =\frac{1}{3}\ln\left|x+1\right|-\frac{1}{6}\ln\left(x^{2}-x+1\right)+C_{2}+\frac{1}{2}\cdot\frac{4}{3}\int\frac{1}{\left(\frac{2x-1}{\sqrt{3}}\right)^{2}+1}dx= \] \[ =\frac{1}{3}\ln\left|x+1\right|-\frac{1}{6}\ln\left(x^{2}-x+1\right)+C_{2}+\frac{2}{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\int\frac{\frac{2}{\sqrt{3}}}{\left(\frac{2x-1}{\sqrt{3}}\right)^{2}+1}dx \] Quindi \[ \int\frac{dx}{x^{3}+1}= \] \[ =\frac{1}{3}\ln\left|x+1\right|-\frac{1}{6}\ln\left(x^{2}-x+1\right)+\frac{\sqrt{3}}{3}\arctan\left(\frac{2x-1}{\sqrt{3}}\right)+C \] Si può anche scrivere: \[ \int\frac{dx}{x^{3}+1}=\frac{1}{6}\ln\frac{\left(x+1\right)^{2}}{x^{2}-x+1}+\frac{\sqrt{3}}{3}\arctan\left(\frac{2x-1}{\sqrt{3}}\right)+C \]

24 thoughts on “Integrali di funzioni razionali fratte – Batteria 5

  1. Ciao Albert,
    mi potresti spiegare, in merito al terzo esercizio, i passaggi del terzo e quarto rigo dopo la scritta “il nostro integrale iniziale diventa:” (subito dopo aver trovati i coefficienti A,B,C) ?

  2. Ciao, volevo chiederti un chiarimento del secondo esercizio: nel momento in cui vai a risolvere l’integrale di -3x^2 + x-1/x^3-1 perchè scomponi ulteriormente? Il numeratore non è già la derivata del denominatore *-1? Poi effettivamente ti da comunque -ln del denominatore ma scomponendo ottieni anche il terzo fattore.. Non posso considerare il num derivata del denominatore precedentemente e chiudere?

  3. Ciao Albert, volevo chiederti un passaggio che non riesco proprio a capire, pur avendolo riprovato più volte. Nell’esercizio 3, all’inizio, l’ (x^3+1) l’ho considerato come un cubo di binomio (x+1)^3 e l’ho sviluppato, risultandomi x^3 + 2x^2 + 2x +1. Scomponendolo poi con Ruffini, mi risulta (x+1) * (x^2+x+1) e non (x+1) * (x^2-x+1) come invece è risultato a te! Cosa sto sbagliando?? Grazie in anticipo, Eleonora

  4. Ciao albert! Volevo chiederti una cosa riguardo l’ultimo esercizio. Ho scomposto il polinomio con ruffini ma poi non capisco perchè non possa usare solo 2 coefficienti (usandone solo 2 non riesco ad andare avanti tra l’altro). Volevo capire quale era il procedimento “mentale” che ti ha permesso di scrivere A + Bx + C e non solo A + B

    1. Prendila come regola: quando hai un denominatore di terzo grado scomposto in due fattori di 1° e 2°, al num del 1° metti A, e nel secondo metti una espressione di primo grado (Bx+C)

  5. ciao Albert, vorrei sapere se lo stesso procedimento che utilizziamo per gli integrali di funzione fratte in cui bisogna considerare il grado del polinomio lo si può fare anche per queste funzioni:
    .3sex(x)/sen^2(x)-10
    .sen(2x)/cos^2(x)+2cos(x)+5
    .log(2x+3)/(x+5)^2

    grazie mille in anticipo :)
    magari se le risolvessi, mi faresti un grosso favore…

  6. Ciao, nel primo esercizio io mi trovo x – 4ln|x^2 + 2x + 4| – (8 sqrt(3)) / 3 arctg (x+1)/sqrt(3)…
    Perchè passi da 8/3 a 8/sqrt(3)? Se aggiungiamo all’interno dell’integrale 1/sqrt(3) fuori non dovremmo moltiplicare per sqrt(3)?

  7. ciao , nell’ultimo esercizio , nella risoluzione dell’ultimo integrale dal quale ricavi la solita primitiva dell’arcotangente hai dimenticato di mettere l’elevazione al quadrato della f(x)

  8. Ciao Albert! Mi potresti per favore spiegare perchè al 4° rigo il denominatore dell’integrale da x^2+2x+4 diventa x^2+2x+1+3?

  9. Buongiorno,
    posso chiedere un paio di delucidazioni?
    1) come si fa a portare fuori il termine noto?cioè perchè ad esempio al primo esercizio (x+1)^2+3 diventa 1/3∫1/1/3(x+1)^2+1?
    2) perchè nel primo esercizio al terzo rigo dopo il delta diventa -8∫ecc… non dovrebbe essere -2?
    Grazie mille,
    Angelo

    1. 1) raccogli 3 al denominatore:

      1/((x+1)^2+3)=
      1/(3(1/3(x+1)^2+1))=
      1/3 * 1/(1/3(x+1)^2+1))

      e l’1/3 che hai li davanti lo puoi portar fuori dall’integrale.

      2) Si ma nell’integrale al passaggio precedente hai un 4 davanti: devi tenerne conto quando lo spezzi in due, entrambi gli integrali vanno moltiplicati per 4 (e nel secondo caso 4*(-2)=-8)

  10. Non lo so…quelli che per te sono troppi passaggi ad altri possono risultare pochi…

    Riguardo al primo esercizio: ho usato in altri casi il tuo metodo perciò non lo critico, però se tu vedi qualsiasi libro, quando si tratta di integrali di funzioni fratte con numeratore di grado maggiore o uguale al denominatore si fa la divisione come procedimento standard.

    Grazie in ogni caso del commento: cominciavo un po’ a stufarmi dei complimenti, ogni tanto ci vuole una critica :)

  11. Ciao Albert volevo dirti che nel primo integrale secondo me potremmo dividerlo in 3 passaggi:
    1)sommmare e sottrarre 8x in modo che al numeratore appaia lo stesso polinimio del denominatore -8x.
    2)quindi ora abbiamo risolto il primo pezzo poichè int(1)dx = x.Ora ci rimane -8x/denominatore, in tal caso porto il 4 fuori e aggiungo e tolgo 2 in modo che al numeratore rimanga la derivata del denominatore.Così abbiamo risolto la seconda parte.
    3)Nell’ultimo passaggio rimaneva un meno 2.lo rimoltiplico in modo che rimanga 8 fuori del dall’integrale e adesso infine faccio il giochino con i quadrati per poi sfruttare l’arcotangente .
    Il risultato viene uguale e credo che il tuo modo di procedere sia artificioso per chi si appresta per le prime volte agli integrali. Magari sarà solo una mia impressione ma fai troppi passaggi rendendo poco scorrevole e complicata l’interpretazione di integrali che si possono risolvere in un numero molto minore di passaggi. Tengo a precisare che la mia è solo un’osservazione personale, non una critica verso il tuo sito che è un utilissimo strumento per l’apprendimento.

  12. Considerando i numeratori io ho fatto:

    int(-3x^2+x-1)dx=int(-3x^2)dx +int(x-1)dx

    int(-3x^2+x-1)dx=-int(3x^2)dx +int(x-1)dx

    quindi non ho cambiato segni…

  13. Forse sbaglio ma al secondo esercizio, dopo che scrivete “Procediamo come segue”, quando cambiate i segni, dovrebbe esserci un “-” anche al secondo integrale..
    Così come avete scritto invece l’espressione cambia in:
    integrale (-3x^2 – x +1)dx che non è quella di partenza

  14. Avevo lasciato un commento poco fa,ma qui ho trovato l esercizio per intero.
    Nel primo esercizio,dalla seconda alla terza riga, che gine fa la x al numeratore e (x-1) al denominatore?? Scusa,l ignoranza in materia ,ma non lo riesc a capire.
    Grazie
    Marta

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