Massimi e minimi – Problema 15

E’ dato un semicerchio di raggio r: si divide il diametro in due parti su ciascuna delle quali si descrive un semicerchio interno al primo. Si chiede che sia massima la superficie compresa fra le tre circonferenze.

Soluzione

Rappresentazione grafica:

Vista la figura, chiamiamo: \[ \overline{AO}=\overline{OB}=r \] \[ \overline{OP}=x \] L’area della circonferenza di diametro AB, in funzione di x, vale: \[ A_{AB}=\pi r^{2} \] L’area della circonferenza di diametro AP, in funzione di x, vale: \[ A_{AP}=\frac{\pi\left(\overline{AO}+\overline{OP}\right)^{2}}{4} \] \[ A_{AP}=\frac{\pi\left(r+x\right)^{2}}{4} \] L’area della circonferenza di diametro PB, in funzione di x, vale: \[ A_{PB}=\frac{\pi\left(\overline{OB}-\overline{OP}\right)^{2}}{4} \] \[ A_{PB}=\frac{\pi\left(r-x\right)^{2}}{4} \] Ora possiamo scrivere la nostra funzione Area con l’unica incognita x: \[ A_{x}=A_{AB}-\left(A_{AP}+A_{PB}\right) \] \[ A\left(x\right)=\pi r^{2}-\left[\frac{\pi\left(r+x\right)^{2}}{4}+\frac{\pi\left(r-x\right)^{2}}{4}\right] \] \[ A\left(x\right)=\pi r^{2}-\frac{\pi}{4}\left[\left(r+x\right)^{2}+\left(r-x\right)^{2}\right] \] \[ A\left(x\right)=\pi r^{2}-\frac{\pi}{4}\left(r^{2}+x^{2}+2rx+r^{2}+x^{2}-2rx\right) \] \[ A\left(x\right)=\pi r^{2}-\frac{\pi}{4}\left(2r^{2}+2x^{2}\right) \] \[ A\left(x\right)=\frac{\pi}{2}\left(2r^{2}-r^{2}-x^{2}\right) \] \[ A\left(x\right)=\frac{\pi}{2}\left(r^{2}-x^{2}\right) \] Calcoliamo la derivata: \[ \frac{dA}{dx}=\frac{\pi}{2}\left(-2x\right) \] \[ \frac{dA}{dx}=-\pi x \] Studiamone il segno: \[ \frac{dA}{dx}\geq0\rightarrow-\pi x\geq0 \] Otteniamo: \[ \frac{dA}{dx}\geq0\rightarrow x\leq0 \] Abbiamo trovato l’intervallo di x per il quale la derivata della funzione è positiva. La funzione area è crescente per x minore di 0 (punto P sul segmento AO), decrescente per x maggiore di 0 (punto P sul segmento OB), ha quindi un massimo per \[ x=0 \] ovvero quando il punto P coincide col centro del semicerchio dato. L’area massima vale quindi \[ A_{x}=\frac{\pi r^{2}}{2} \]

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