Massimi e minimi – Problema 24

Nel piano cartesiano è data la circonferenza passante per l’origine e di centro A(1;0); sia P un punto della semicirconferenza situata nel primo quadrante e sia Q il punto in cui la parallela per P all’asse x incontra la semicirconferenza. Determinare il punto P in modo che il trapezio non intrecciato OAPQ abbia area massima.

Soluzione

Determiniamo l’equazione della semicirconferenza del primo quadrante, esplicitando quindi la y con segno positivo: \[ \left(x-x_{A}\right)^{2}+\left(y-y_{A}\right)^{2}=r^{2} \] \[ \left(x-1\right)^{2}+\left(y-0\right)^{2}=1^{2} \] \[ x^{2}+1-2x+y^{2}=1 \] \[ y=+\sqrt{-x^{2}+2x} \] Il generico punto P della semicirconferenza ha quindi coordinate \[ P\left(x;\sqrt{-x^{2}+2x}\right) \] Scriviamo ora OA, QP e AH in funzione di x, perchè ci serviranno per determinare poi l’area del trapezio: \[ \overline{OA}=1 \] \[ \overline{AH}=y_{P}=\sqrt{-x^{2}+2x} \] \[ \overline{AP}=1 \] \[ \overline{QP}=2\sqrt{\overline{AP}^{2}-\overline{AH}^{2}} \] \[ \overline{QP}=2\sqrt{1-\left(-x^{2}+2x\right)^{2}} \] \[ \overline{QP}=2\sqrt{\left(x-1\right)^{2}} \] \[ \overline{QP}=2x-2 \] La funzione area del trapezio con variabile x vale \[ f=\frac{\left(\overline{QP}+\overline{OA}\right)\overline{AH}}{2} \] \[ f\left(x\right)=\frac{\left(2x-2+1\right)\cdot\sqrt{-x^{2}+2x}}{2} \] \[ f\left(x\right)=\left(x-\frac{1}{2}\right)\sqrt{-x^{2}+2x} \] Calcoliamo la derivata: \[ f’\left(x\right)=\sqrt{-x^{2}+2x}+\left(x-\frac{1}{2}\right)\frac{-2x+2}{2\sqrt{-x^{2}+2x}} \] \[ f’\left(x\right)=\left(-2x^{2}+\frac{7}{2}x-\frac{1}{2}\right)\frac{1}{\sqrt{-x^{2}+2x}} \] Studiamone il segno: \[ f’\left(x\right)\geq0\rightarrow-2x^{2}+\frac{7}{2}x-\frac{1}{2}\geq0 \] Risolvendo quest’ultima disequazione, ricordandoci che x non può avere valore negativo perchè siamo nel primo quadrante, otteniamo un massimo per \[ x=\frac{7+\sqrt{33}}{8} \] e il punto P cercato ha coordinate \[ P\left(\frac{7+\sqrt{33}}{8};\frac{1}{4}\sqrt{\frac{15+\sqrt{33}}{2}}\right) \]

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