Integrali per parti – Batteria 2

Calcolare i seguenti integrali indefiniti applicando il metodo di integrazione per parti:

Esercizio 1 \[ \int x^{2}\sin xdx \] Chiamiamo \[ f\left(x\right)=x^{2} \] \[ g’\left(x\right)=\sin x \] di conseguenza \[ f’\left(x\right)=2x \] \[ g\left(x\right)=-\cos x \] Ora applichiamo la formula di integrazione per parti \[ \int f\left(x\right)g’\left(x\right)dx=f\left(x\right)g\left(x\right)-\int f’\left(x\right)g\left(x\right)dx \] e otteniamo: \[ \int x^{2}\sin xdx=-x^{2}\cos x-\int-2x\cos xdx \] \[ \int x^{2}\sin xdx=-x^{2}\cos x+\int2x\cos xdx \] Ponendo \[ f\left(x\right)=2x \] \[ g’\left(x\right)=\cos x \] e quindi \[ f’\left(x\right)=2 \] \[ g\left(x\right)=\sin x \] ri-applichiamo la formula di integrazione per parti e otteniamo: \[ \int x^{2}\sin xdx= \] \[ =-x^{2}\cos x+2x\sin x-\int2\sin xdx= \] \[ =-x^{2}\cos x+2x\sin x+2\cos x+C \] Esercizio 2 \[ \int e^{x}\cos xdx \] Chiamiamo \[ f\left(x\right)=\cos x \] \[ g’\left(x\right)=e^{x} \] di conseguenza \[ f’\left(x\right)=-\sin x \] \[ g\left(x\right)=e^{x} \] Ora applichiamo la formula di integrazione per parti \[ \int f\left(x\right)g’\left(x\right)dx=f\left(x\right)g\left(x\right)-\int f’\left(x\right)g\left(x\right)dx \] e otteniamo: \[ \int e^{x}\cos xdx=e^{x}\cos x+\int e^{x}\sin xdx \] Ponendo \[ f\left(x\right)=\sin x \] \[ g’\left(x\right)=e^{x} \] e quindi \[ f’\left(x\right)=\cos x \] \[ g\left(x\right)=e^{x} \] ri-applichiamo la formula di integrazione per parti e otteniamo: \[ \int e^{x}\cos xdx=e^{x}\cos x+e^{x}\sin x-\int e^{x}\cos xdx \] Guardando questa ultima espressione come una vera e propria equazione (lo è a tutti gli effetti), possiamo portare al primo membro, e sommare, i due integrali: \[ 2\int e^{x}\cos xdx=e^{x}\cos x+e^{x}\sin x \] \[ \int e^{x}\cos xdx=\frac{e^{x}\left(\cos x+\sin x\right)}{2}+C \] Esercizio 3 \[ \int\cos^{2}xdx \] L’integrale dato può essere scritto come \[ \int\cos^{2}xdx=\int\cos x\cos xdx \] Chiamiamo \[ f\left(x\right)=\cos x \] \[ g’\left(x\right)=\cos x \] di conseguenza \[ f’\left(x\right)=-\sin x \] \[ g\left(x\right)=\sin x \] Ora applichiamo la formula di integrazione per parti \[ \int f\left(x\right)g’\left(x\right)dx=f\left(x\right)g\left(x\right)-\int f’\left(x\right)g\left(x\right)dx \] e otteniamo: \[ \int\cos^{2}xdx=\cos x\sin x+\int\sin^{2}xdx \] \[ \int\cos^{2}xdx=\cos x\sin x+\int\left(1-\cos^{2}x\right)dx \] \[ \int\cos^{2}xdx=\cos x\sin x+\int dx-\int\cos^{2}xdx \] \[ \int\cos^{2}xdx=\cos x\sin x+x-\int\cos^{2}xdx \] Guardando questa ultima espressione come una vera e propria equazione (lo è a tutti gli effetti), possiamo portare al primo membro, e sommare, i due integrali: \[ 2\int\cos^{2}xdx=\cos x\sin x+x \] \[ 2\int\cos^{2}xdx=x+\frac{1}{2}\sin2x \] Otteniamo: \[ \int\cos^{2}xdx=\frac{1}{2}\left(x+\frac{1}{2}\sin2x\right)+C \] Esercizio 4 \[ \int\sin^{3}xdx \] L’integrale dato può essere scritto come \[ \int\sin^{3}xdx=\int\sin x\sin^{2}xdx \] Chiamiamo \[ f\left(x\right)=\sin^{2}x \] \[ g’\left(x\right)=\sin x \] di conseguenza \[ f’\left(x\right)=2\sin x\cos x \] \[ g\left(x\right)=-\cos x \] Ora applichiamo la formula di integrazione per parti \[ \int f\left(x\right)g’\left(x\right)dx=f\left(x\right)g\left(x\right)-\int f’\left(x\right)g\left(x\right)dx \] e otteniamo: \[ \int\sin^{3}xdx=-\sin^{2}x\cos x-\int-2\sin x\cos^{2}xdx \] \[ \int\sin^{3}xdx=-\left(1-\cos^{2}x\right)\cos x+2\int\sin x\left(1-\sin^{2}x\right)dx \] \[ \int\sin^{3}xdx=-\cos x+\cos^{3}x+2\int\sin xdx-2\int\sin^{3}xdx \] \[ \int\sin^{3}xdx=-\cos x+\cos^{3}x-2\cos x-2\int\sin^{3}xdx \] \[ \int\sin^{3}xdx=-3\cos x+\cos^{3}x-2\int\sin^{3}xdx \] Guardando questa ultima espressione come una vera e propria equazione (lo è a tutti gli effetti), possiamo portare al primo membro, e sommare, i due integrali: \[ 3\int\sin^{3}xdx=-3\cos x+\cos^{3}x \] Otteniamo: \[ \int\sin^{3}xdx=\frac{1}{3}\cos^{3}x-\cos x+C \]

15 thoughts on “Integrali per parti – Batteria 2

  1. ciao Albert guardavo i tuoi esercizi che sono molto chiari e di grande aiuto, ma avevo una domanda da porti. Io come formula di partenza per svolgere l’integrale per parti mi trovo: integrale di f(x)*g(x) dx=f ‘ (x)*g'(x)-integrale f ‘ (x)*g(x) dx. guardando invece i tuoi passaggi l’ultimo membro ovvero g(x) tu lo poni come g'(x) mi chiedo devo quindi mettere l’integrale che mi trovo oppure il mio g(x) iniziale? grazie in anticipo aspetto una tua risp con molta urgenza :)

  2. Ciao Albert, nell’esercizio 4 si è scelto g primo di x uguale a sin(x) quindi la g(x) non dovrebbe essere cos(x) e non -cos(x)? Magari sono un’ignorante io, però non riesco a capire.

    1. Perchè al primo membro di integrale ce n’è un’altro (il testo dell’esercizio) che si somma (sono uguali) a quello che porti a sinistra

  3. buongiorno.. ma io mi chiedo perche nn usare questa formula che e molto piu semplice ?? $f°g= f°$g-$(f’°$g) c è un motivo per cui in tutti i libri di testo si trova l altra formula ?

    1. E’ uguale identico, cambiano solo i nomi delle funzioni, e un segno:

      f(x)=e^x –> f'(x)=e^x
      g'(x)=cosx –> g(x)=senx

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