Integrali per parti – Batteria 3

Calcolare i seguenti integrali indefiniti applicando il metodo di integrazione per parti:

Esercizio 1 \[ \int\sin\ln xdx \] L’integrale dato può essere scritto come \[ \int\sin\ln xdx=\int1\cdot\sin\ln xdx \] Chiamiamo \[ f\left(x\right)=\sin\ln x \] \[ g’\left(x\right)=1 \] di conseguenza \[ f’\left(x\right)=\cos\ln x\cdot\frac{1}{x} \] \[ g\left(x\right)=x \] Ora applichiamo la formula di integrazione per parti \[ \int f\left(x\right)g’\left(x\right)dx=f\left(x\right)g\left(x\right)-\int f’\left(x\right)g\left(x\right)dx \] e otteniamo: \[ \int\sin\ln xdx=x\sin\ln x-\int x\cos\ln x\cdot\frac{1}{x}dx \] \[ \int\sin\ln xdx=x\sin\ln x-\int\cos\ln xdx \] \[ \int\sin\ln xdx=x\sin\ln x-\int1\cdot\cos\ln xdx \] Ponendo \[ f\left(x\right)=\cos\ln x \] \[ g’\left(x\right)=1 \] e quindi \[ f’\left(x\right)=-\sin\ln x\cdot\frac{1}{x} \] \[ g\left(x\right)=x \] ri-applichiamo la formula di integrazione per parti e otteniamo: \[ \int\sin\ln xdx= \] \[ =x\sin\ln x-x\cos\ln x-\int\sin\ln x\cdot\frac{1}{x}\cdot xdx \] \[ \int\sin\ln xdx=x\sin\ln x-x\cos\ln x-\int\sin\ln xdx \] Guardando questa ultima espressione come una vera e propria equazione (lo è a tutti gli effetti), possiamo portare al primo membro, e sommare, i due integrali: \[ 2\int\sin\ln xdx=x\sin\ln x-x\cos\ln x \] \[ \int\sin\ln xdx=\frac{x}{2}\left(\sin\ln x-\cos\ln x\right)+C \] Esercizio 2 \[ \int\frac{\ln x}{x^{3}}dx \] L’integrale dato può essere scritto come \[ \int\frac{\ln x}{x^{3}}dx=\int x^{-3}\ln xdx \] Chiamiamo \[ f\left(x\right)=\ln x \] \[ g’\left(x\right)=x^{-3} \] di conseguenza \[ f’\left(x\right)=\frac{1}{x} \] \[ g\left(x\right)=-\frac{x^{-2}}{2} \] Ora applichiamo la formula di integrazione per parti \[ \int f\left(x\right)g’\left(x\right)dx=f\left(x\right)g\left(x\right)-\int f’\left(x\right)g\left(x\right)dx \] e otteniamo: \[ \int\frac{\ln x}{x^{3}}dx=-\frac{\ln x}{2x^{2}}+\int\frac{1}{2x^{2}}\cdot\frac{1}{x}dx \] \[ \int\frac{\ln x}{x^{3}}dx=-\frac{\ln x}{2x^{2}}+\frac{1}{2}\int x^{-3}dx \] \[ \int\frac{\ln x}{x^{3}}dx=-\frac{2\ln x+1}{4x^{2}}+C \] Esercizio 3 \[ \int\ln\left(1+x^{2}\right)dx \] L’integrale dato può essere scritto come \[ \int\ln\left(1+x^{2}\right)dx=\int1\cdot\ln\left(1+x^{2}\right)dx \] Chiamiamo \[ f\left(x\right)=\ln\left(1+x^{2}\right) \] \[ g’\left(x\right)=1 \] di conseguenza \[ f’\left(x\right)=\frac{2x}{1+x^{2}} \] \[ g\left(x\right)=x \] Ora applichiamo la formula di integrazione per parti \[ \int f\left(x\right)g’\left(x\right)dx=f\left(x\right)g\left(x\right)-\int f’\left(x\right)g\left(x\right)dx \] e otteniamo: \[ \int\ln\left(1+x^{2}\right)dx=x\ln\left(1+x^{2}\right)-2\int\frac{x^{2}}{x^{2}+1}dx \] \[ \int\ln\left(1+x^{2}\right)dx=x\ln\left(1+x^{2}\right)-2\int\frac{x^{2}+1-1}{x^{2}+1}dx \] \[ \int\ln\left(1+x^{2}\right)dx=x\ln\left(1+x^{2}\right)-2\int dx+2\int\frac{1}{x^{2}+1}dx \] \[ \int\ln\left(1+x^{2}\right)dx=x\ln\left(1+x^{2}\right)-2x+2\arctan x+C \]

21 thoughts on “Integrali per parti – Batteria 3

  1. Non capisco al secondo esercizio pervhe fai xsenxlnx – xcosxlnx e non invece xsenxlnx +xcosxlnx cioè voglio intendere l’operatore – al posto del + ???

    1. Lo fai per parti come negli esempi sopra.

      g’=1 -> g=x
      f= ln(2-x) -> f’= -1/(2-x)

      la difficoltà sta nel fatto che ti ritrovi nell’integrale x/(x-2) e qui devi dividere i polinomi ottenendo quoziente (1) e resto (2), quindi:
      x/(x-2) = 1+ 1/(x-2)

  2. non mi è chiaro un segno nel primo esercizio: quando integriamo col metodo per parti la seconda volta, il “-” di sinx viene portato fuori, che col meno proprio della formula non dovrebbe fare “+”?

    1. si ma c’è n’è un’altro di meno:

      x sen(lnx) – (x cos(lnx) -int -sen(lnx) dx) =
      x sen(lnx) – (x cos(lnx) +int sen(lnx) dx) =
      x sen(lnx) -x cos(lnx) -int sen(lnx) dx

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