Integrali per sostituzione – Batteria 1

Calcolare i seguenti integrali indefiniti applicando il metodo di integrazione per sostituzione:

Esercizio 1 \[ \int e^{3x-1}dx \] Ponendo \[ t=3x-1 \] ricaviamo x: \[ x=\frac{1+t}{3} \] e quindi \[ \frac{dx}{dt}=\frac{1}{3}\rightarrow dx=\frac{1}{3}dt \] Ora, ritornando all’integrale iniziale: \[ \int e^{3x-1}dx=\int e^{t}\cdot\frac{1}{3}dt \] \[ \int e^{3x-1}dx=\frac{1}{3}\int e^{t}dt \] \[ \int e^{3x-1}dx=\frac{1}{3}e^{t}+C \] Risulta quindi: \[ \int e^{3x-1}dx=\frac{1}{3}e^{3x-1}+C \] Esercizio 2 \[ \int\frac{e^{x}}{e^{x}+2}dx \] Ponendo \[ t=e^{x} \] ricaviamo x: \[ x=\ln t \] e quindi \[ \frac{dx}{dt}=\frac{1}{t}\rightarrow dx=\frac{1}{t}dt \] Ora, ritornando all’integrale iniziale: \[ \int\frac{e^{x}}{e^{x}+2}dx=\int\frac{t\cdot\frac{1}{t}}{t+2}dt \] \[ \int\frac{e^{x}}{e^{x}+2}dx=\int\frac{1}{t+2}dt \] \[ \int\frac{e^{x}}{e^{x}+2}dx=\ln\left|t+2\right|+C \] Risulta quindi: \[ \int\frac{e^{x}}{e^{x}+2}dx=\ln\left(e^{x}+2\right)+C \] Esercizio 3 \[ \int\frac{\ln x}{x}dx \] Ponendo \[ t=\ln x \] ricaviamo x: \[ x=e^{t} \] e quindi \[ \frac{dx}{dt}=e^{t}\rightarrow dx=e^{t}dt \] Ora, ritornando all’integrale iniziale: \[ \int\frac{\ln x}{x}dx=\int\frac{t}{e^{t}}e^{t}dt \] \[ \int\frac{\ln x}{x}dx=\int tdt \] \[ \int\frac{\ln x}{x}dx=\frac{t^{2}}{2}+C \] Risulta quindi: \[ \int\frac{\ln x}{x}dx=\frac{\ln^{2}x}{2}+C \]

21 thoughts on “Integrali per sostituzione – Batteria 1

  1. Ciao Albert! senti ti volevo chiedere perchè nel primo esercizio, la derivata di x in base a t di : (1+t)/3 ti viene uguale a 1/3? non dovrebbe venire (1/3)+(t/3). grazie e scusami per il disturbo ;)

    1. é la stessa identica cosa! Se moltiplichi 1 al numeratore e la t al denominatore, in ogni caso viene t/t( t+2) ….. t al numeratore e t al denominatore si semplificano

  2. Credo che ci sia un errore nell’esponente del risultato del primo integrale. Non è e^(3x+1) ma e^(3x-1). Giusto?

  3. Ciao Francesca,

    1) t=3x-1 –> 3x=t+1 –> x=(t+1)/3

    2) t=e^x –> x è l’esponente da dare a e per ottenere t, quindi x=ln(t)

    3) t=ln(x) –> t è l’esponente da dare a e per ottenere x, quindi x=e^t

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