Integrali per sostituzione – Batteria 2

Calcolare i seguenti integrali indefiniti applicando il metodo di integrazione per sostituzione:

Esercizio 1 \[ \int\frac{1}{\sqrt{x}+x\sqrt{x}}dx \] Ponendo \[ t=\sqrt{x} \] ricaviamo x: \[ x=t^{2} \] e quindi \[ \frac{dx}{dt}=2t\rightarrow dx=2tdt \] Ora, ritornando all’integrale iniziale: \[ \int\frac{1}{\sqrt{x}+x\sqrt{x}}dx=\int\frac{2t}{t+t^{3}}dt \] \[ \int\frac{1}{\sqrt{x}+x\sqrt{x}}dx=2\int\frac{t}{t\left(1+t^{2}\right)}dt \] \[ \int\frac{1}{\sqrt{x}+x\sqrt{x}}dx=2\int\frac{1}{1+t^{2}}dt \] \[ \int\frac{1}{\sqrt{x}+x\sqrt{x}}dx=2\arctan t+C \] Risulta quindi: \[ \int\frac{1}{\sqrt{x}+x\sqrt{x}}dx=2\arctan\sqrt{x}+C \] Esercizio 2 \[ \int\frac{e^{\tan x}}{\cos^{2}x}dx \] Ponendo \[ t=\tan x \] ricaviamo x: \[ x=\arctan t \] e quindi \[ \frac{dx}{dt}=\frac{1}{1+t^{2}}\rightarrow dx=\frac{1}{1+t^{2}}dt \] Ora, notando che \[ \frac{1}{1+t^{2}}=\frac{1}{1+\tan^{2}x} \] \[ \frac{1}{1+t^{2}}=\frac{1}{1+\frac{\sin^{2}x}{\cos^{2}x}} \] \[ \frac{1}{1+t^{2}}=\cos^{2}x \] ritorniamo all’integrale iniziale: \[ \int\frac{e^{\tan x}}{\cos^{2}x}dx=\int\frac{e^{t}}{\frac{1}{1+t^{2}}}\cdot\frac{1}{1+t^{2}}dt \] \[ \int\frac{e^{\tan x}}{\cos^{2}x}dx=\int e^{t}dt \] \[ \int\frac{e^{\tan x}}{\cos^{2}x}dx=e^{t}+C \] Risulta quindi: \[ \int\frac{e^{\tan x}}{\cos^{2}x}dx=e^{\tan x}+C \] Esercizio 3 \[ \int\frac{x\sqrt{x}}{1+x}dx \] Ponendo \[ t=\sqrt{x} \] ricaviamo x: \[ x=t^{2} \] e quindi \[ \frac{dx}{dt}=2t\rightarrow dx=2tdt \] Ora, ritornando all’integrale iniziale: \[ \int\frac{x\sqrt{x}}{1+x}dx=\int\frac{t^{2}\cdot t}{1+t^{2}}\cdot2tdt \] \[ \int\frac{x\sqrt{x}}{1+x}dx=2\int\frac{t^{4}}{1+t^{2}}dt \] Operando la divisione \[ t^{4}:\left(t^{2}+1\right) \] otteniamo quoziente \[ Q\left(x\right)=t^{2}-1 \] e resto \[ R\left(x\right)=1 \] di conseguenza: \[ t^{4}:\left(t^{2}+1\right)=\left(t^{2}-1\right)+\frac{1}{t^{2}+1} \] \[ \int\frac{x\sqrt{x}}{1+x}dx=2\int\left(t^{2}-1\right)dt+2\int\frac{1}{t^{2}+1}dt \] \[ \int\frac{x\sqrt{x}}{1+x}dx=2\cdot\frac{t^{3}}{3}-2t+2\arctan t+C \] Risulta quindi: \[ \int\frac{x\sqrt{x}}{1+x}dx=\frac{2}{3}x\sqrt{x}-2\sqrt{x}+2\arctan\sqrt{x}+C \]

23 thoughts on “Integrali per sostituzione – Batteria 2

    1. Sicuramente tu hai dimenticato di sostituire il dx (dx = 2t*dt).
      Da qui ricavi la t che porta t^3 a t^4.

  1. Buongiorno! Scusami, ma non capisco come mai nel terzo integrale, una volta fatta la divisione tra polinomi, l’integrale diventi (t^2−1)+(1/t^2+1), quando io avrei semplicemente messo (t^2-1) + 1, sbagliando ovviamente. Non mi spiego quindi quel denominatore.

    1. t=tan(x) diventa x=arctan(t) perchè l’arcotangente è la funzione inversa della tangente.
      tan(x): Qual’è la tangente dell’angolo x? t
      arctan(t): Qual’è l’angolo che ha tangente t? x

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