Integrali per sostituzione – Batteria 3

Calcolare i seguenti integrali indefiniti applicando il metodo di integrazione per sostituzione:

Esercizio 1 \[ \int\frac{1}{1+e^{x}}dx \] Ponendo \[ t=e^{x} \] ricaviamo x: \[ x=\ln t \] e quindi \[ \frac{dx}{dt}=\frac{1}{t}\rightarrow dx=\frac{1}{t}dt \] Ora, ritornando all’integrale iniziale: \[ \int\frac{1}{1+e^{x}}dx=\int\frac{1}{1+t}\cdot\frac{1}{t}dt \] \[ \int\frac{1}{1+e^{x}}dx=\int\frac{1}{t\left(t+1\right)}dt \] Cerchiamo ora A e B tali che \[ \frac{1}{t\left(t+1\right)}=\frac{A}{t}+\frac{B}{t+1} \] \[ \frac{1}{t\left(t+1\right)}=\frac{\left(A+B\right)t+A}{t\left(t+1\right)} \] \[ A=1\;;\; B=-1 \] L’integrale diventa: \[ \int\frac{1}{1+e^{x}}dx=\int\frac{1}{t}dt-\int\frac{1}{t+1}dt \] \[ \int\frac{1}{1+e^{x}}dx=\ln\left|t\right|-\ln\left|t+1\right|+C \] Risulta quindi: \[ \int\frac{1}{1+e^{x}}dx=\ln e^{x}-\ln\left(e^{x}+1\right)+C \] \[ \int\frac{1}{1+e^{x}}dx=x-\ln\left(e^{x}+1\right)+C \] Esercizio 2 \[ \int\sqrt{1-x^{2}}dx \] Ponendo \[ x=\sin t \] ricaviamo t: \[ t=\arcsin x \] e quindi \[ \frac{dx}{dt}=\cos t\rightarrow dx=\cos tdt \] Ora, ritornando all’integrale iniziale: \[ \int\sqrt{1-x^{2}}dx=\int\sqrt{1-\sin^{2}t}\cos tdt \] \[ \int\sqrt{1-x^{2}}dx=\int\cos^{2}tdt \] Ricordando la formula di riduzione del coseno: \[ \cos^{2}t=\frac{1+\cos2t}{2} \] abbiamo che \[ \int\sqrt{1-x^{2}}dx=\frac{1}{2}\left(\int dt+\int\cos2tdt\right) \] \[ \int\sqrt{1-x^{2}}dx=\frac{1}{2}\left(t+\frac{1}{2}\sin2t\right)+C \] \[ \int\sqrt{1-x^{2}}dx=\frac{1}{2}\left(t+\sin t\cos t\right)+C \] \[ \int\sqrt{1-x^{2}}dx=\frac{1}{2}\left(t+\sin t\sqrt{1-\sin^{2}t}\right)+C \] Risulta quindi: \[ \int\sqrt{1-x^{2}}dx=\frac{1}{2}\left(\arcsin x+x\sqrt{1-x^{2}}\right)+C \] Esercizio 3 \[ \int\frac{1}{1+\sqrt{x}}dx \] Ponendo \[ t=\sqrt{x} \] ricaviamo x: \[ x=t^{2} \] e quindi \[ \frac{dx}{dt}=2t\rightarrow dx=2tdt \] Ora, ritornando all’integrale iniziale: \[ \int\frac{1}{1+\sqrt{x}}dx=\int\frac{2t}{1+t}dt \] \[ \int\frac{1}{1+\sqrt{x}}dx=2\int\frac{t+1-1}{1+t}dt \] \[ \int\frac{1}{1+\sqrt{x}}dx=2\left(\int dt-\int\frac{1}{t+1}dt\right) \] \[ \int\frac{1}{1+\sqrt{x}}dx=2t-2\ln\left|t+1\right|+C \] Risulta quindi: \[ \int\frac{1}{1+\sqrt{x}}dx=2\sqrt{x}-2\ln\left(\sqrt{x}+1\right)+C \]

35 thoughts on “Integrali per sostituzione – Batteria 3

  1. Salve Albert mi potresti dire come risolvere il seguente intergrale?
    int(e^x+2e^x+3)/(e^x+1)dx. Ho sostituito e^x=t ma alla fine mi viene: int(t+2t+3)/(t*(t+1))dt. Non so più come continuare. Grazie in anticipo

    1. perchè hai bisogno all’interno dell’integrale della derivata della funzione interna (la derivata di 2t ovvero 2):

      int cos2t dt = 1/2 int 2cos2t dt = 1/2 sen2t +C

  2. Albert davero,non so come ringraziarti. In questi giorni di preparazione all’esame sono sempre sul tuo sito!
    Grazie,davvero
    Matteo

    1. ma nell’esercizio prima non si era derivato t=e`x, ma x=lnt! perché ora é differente?

    1. Si, non per tutte però…se ti vedi tutti gli esercizi sugli integrali di funzioni razionali fratte qui pubblicati te ne accorgi, e impari quando applicare questo metodo e quando no…

  3. La radice di (1 – (sin t)**2) non è uguale a cos t bensi a valore assoluto di cos t.

    quindi la sostituzione finale non può essere (cost)**2 ma
    |cos t| * cos t.

    Cosi mi sembra!!

    1. Bella obiezione, ti rispondo così: l’integrale iniziale ha una funzione integranda sempre positiva (rad(1-x^2)), quindi anche |cos t| * cos t che giustamente (rigorosamente) hai ottenuto tu dev’esserlo, ovvero deve valere (cos(t))^2.

      In pratica in questo tipo di integrali per sostituzione non preoccuparti troppo dei valori assoluti…

  4. Ciao Anonimo,

    il tuo passaggio è corretto, ma non ottieni un integrale immediato. Avresti bisogno anche di un -2x (derivata della funzione 1-x^2) a moltiplicare la parentesi. E questo -2x non c’è purtroppo… :)

  5. Salve Albert.

    Volevo chiedere: l’esercizio 2 può essere risolto anche portanto 1-x^2 fuori dalla radice, cosicché diventi (1-x^2)^(1/2) e poi risolvere l’integrale immediato? GRazie….

  6. Ciao,

    – Portando fuori dall’integrale il 2, al numeratore mi rimane t
    – Poi decido io di aggiungere e togliere 1 (tanto sappiamo che 1-1=0), in modo da poter separare l’integrale in due parti (terzo passaggio)

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