Area sottesa – Problema 1

Determinare la misura dell’area della parte di piano delimitata dalla curva di equazione \[ y=-x^{2}+4x-3 \] e dall’asse delle x.

Soluzione

La funzione data è una parabola con asse di simmetria parallelo all’asse y, rivolta verso il basso. Calcoliamo le sue intersezioni con l’asse x: \[ \left\{ \begin{array}{c} y=0\\ y=-x^{2}+4x-3 \end{array}\right. \] \[ -x^{2}+4x-3=0\rightarrow\left\{ \begin{array}{c} x_{1}=1\\ x_{2}=3 \end{array}\right. \] Per determinare l’area richiesta basterà calcolare l’integrale definito della funzione data, con estremi di integrazione \[ \left\{ \begin{array}{c} a=x_{1}=1\\ b=x_{2}=3 \end{array}\right. \] Risulta quindi \[ \int_{1}^{3}\left(-x^{2}+4x-3\right)dx=\left[-\frac{x^{3}}{3}+2x^{2}-3x\right]_{1}^{3} \] \[ \int_{1}^{3}\left(-x^{2}+4x-3\right)dx=-9+18-9+\frac{1}{3}-2+3 \] \[ \int_{1}^{3}\left(-x^{2}+4x-3\right)dx=\frac{4}{3} \] Otteniamo l’area: \[ A=\frac{4}{3} \]

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