Integrali definiti – Batteria 2

Calcolare i seguenti integrali definiti:

Esercizio 1 \[ \int_{1}^{e}\frac{x-1}{x^{2}}dx \] Soluzione

Calcoliamo l’integrale indefinito \[ F\left(x\right)=\int\frac{x-1}{x^{2}}dx \] \[ F\left(x\right)=\int\frac{x}{x^{2}}dx-\int\frac{1}{x^{2}}dx \] \[ F\left(x\right)=\int\frac{1}{x}dx-\int x^{-2}dx \] \[ F\left(x\right)=\ln x+\frac{1}{x}+C \] Utilizziamo ora la formula fondamentale del calcolo integrale: \[ \int_{a}^{b}f\left(x\right)dx=F\left(b\right)-F\left(a\right) \] ovvero \[ \int_{1}^{e}\frac{x-1}{x^{2}}dx=F\left(e\right)-F\left(1\right) \] \[ \int_{1}^{e}\frac{x-1}{x^{2}}dx=\left(\ln e+\frac{1}{e}+C\right)-\left(\ln1+1+C\right) \] \[ \int_{1}^{e}\frac{x-1}{x^{2}}dx=1+\frac{1}{e}+C-0-1-C=\frac{1}{e} \] Quindi otteniamo: \[ \int_{1}^{e}\frac{x-1}{x^{2}}dx=\frac{1}{e} \] Esercizio 2 \[ \int_{0}^{1}\left(e^{2x}+e^{-2x}\right)dx \] Soluzione

Calcoliamo l’integrale indefinito \[ F\left(x\right)=\int\left(e^{2x}+e^{-2x}\right)dx=\frac{1}{2}e^{2x}-\frac{1}{2}e^{-2x}+C \] Utilizziamo ora la formula fondamentale del calcolo integrale: \[ \int_{a}^{b}f\left(x\right)dx=F\left(b\right)-F\left(a\right) \] ovvero \[ \int_{0}^{1}\left(e^{2x}+e^{-2x}\right)dx=F\left(1\right)-F\left(0\right) \] \[ \int_{0}^{1}\left(e^{2x}+e^{-2x}\right)dx=\left(\frac{1}{2}e^{2}-\frac{1}{2}e^{-2}+C\right)-\left(\frac{1}{2}e^{0}-\frac{1}{2}e^{0}+C\right) \] \[ \int_{0}^{1}\left(e^{2x}+e^{-2x}\right)dx=\frac{1}{2}e^{2}-\frac{1}{2}e^{-2}=\frac{e^{4}-1}{2e^{2}} \] Quindi otteniamo: \[ \int_{0}^{1}\left(e^{2x}+e^{-2x}\right)dx=\frac{e^{4}-1}{2e^{2}} \] Esercizio 3 \[ \int_{0}^{\pi}\left(\sin x-\cos x\right)dx \] Soluzione

Calcoliamo l’integrale indefinito \[ F\left(x\right)=\int\left(\sin x-\cos x\right)dx=-\sin x-\cos x+C \] Utilizziamo ora la formula fondamentale del calcolo integrale: \[ \int_{a}^{b}f\left(x\right)dx=F\left(b\right)-F\left(a\right) \] ovvero \[ \int_{0}^{\pi}\left(\sin x-\cos x\right)dx=F\left(\pi\right)-F\left(0\right) \] \[ \int_{0}^{\pi}\left(\sin x-\cos x\right)dx=\left(-\sin\pi-\cos\pi+C\right)-\left(-\sin0-\cos0+C\right) \] \[ \int_{0}^{\pi}\left(\sin x-\cos x\right)dx=0+1-0+1=2 \] Quindi otteniamo: \[ \int_{0}^{\pi}\left(\sin x-\cos x\right)dx=2 \]

10 thoughts on “Integrali definiti – Batteria 2

  1. Chiedo scusa preventivamente se la domanda sembrerà ignorante. Perché vene esclusa dal calcolo la parte di area sottostante l’asse x ? Non bisognerebbe aggiungere l’integrale definito da 0 a pigreco/4 ? Grazie

    1. Mi riferivo al terzo esercizio. Il dubbio nasce dal fatto che se applico la formula del calcolo integrale definito l’area sotto l’asse x viene contata come negastiva. Mi chiedo, ha senso parlare di “area negativa”?

  2. Ciao Alberto ma al primo esercizio dopo averla diviso i due integrali non conviene aggiungere al 2 integrale al denominatore +1 così da avere 1/x2º+1 e secondo la regola esce arcotgx?

  3. ma l’integrale definito di sinx-cosx non si risolve in -cosx-sinx? l’integrale di sinx è infatti -cosx e l’integrale di -cosx è -sinx!
    (il risultato resta comunque 2)

    1. Anch’io l’ho risolto così!
      qualcuno può far chiarezza? Tra l’altro il risultato mi esce 0 in questo caso.

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