Integrali definiti – Batteria 3

Calcolare i seguenti integrali definiti:

Esercizio 1 \[ \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}}\left(\frac{1}{\cos^{2}x}+\frac{1}{\sin^{2}x}\right)dx \] Soluzione

Calcoliamo l’integrale indefinito \[ F\left(x\right)=\int\left(\frac{1}{\cos^{2}x}+\frac{1}{\sin^{2}x}\right)dx \] \[ F\left(x\right)=\int\frac{1}{\cos^{2}x}dx+\int\frac{1}{\sin^{2}x}dx \] \[ F\left(x\right)=\tan x-co\tan x+C \] Utilizziamo ora la formula fondamentale del calcolo integrale: \[ \int_{a}^{b}f\left(x\right)dx=F\left(b\right)-F\left(a\right) \] ovvero \[ \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}}\left(\frac{1}{\cos^{2}x}+\frac{1}{\sin^{2}x}\right)dx=F\left(\frac{\pi}{3}\right)-F\left(\frac{\pi}{6}\right) \] \[ \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}}\left(\frac{1}{\cos^{2}x}+\frac{1}{\sin^{2}x}\right)dx=\left(\tan\frac{\pi}{3}-co\tan\frac{\pi}{3}+C\right)-\left(\tan\frac{\pi}{6}-co\tan\frac{\pi}{6}+C\right) \] \[ \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}}\left(\frac{1}{\cos^{2}x}+\frac{1}{\sin^{2}x}\right)dx=\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{3}-\frac{\sqrt{3}}{3}+\sqrt{3} \] \[ \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}}\left(\frac{1}{\cos^{2}x}+\frac{1}{\sin^{2}x}\right)dx=-\frac{2\sqrt{3}}{3}+2\sqrt{3} \] Quindi otteniamo: \[ \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}}\left(\frac{1}{\cos^{2}x}+\frac{1}{\sin^{2}x}\right)dx=\frac{4\sqrt{3}}{3} \] Esercizio 2 \[ \int_{0}^{1}\frac{e^{x}}{e^{x}+2}dx \] Soluzione

Calcoliamo l’integrale indefinito \[ F\left(x\right)=\int\frac{e^{x}}{e^{x}+2}dx=\ln\left(e^{x}+2\right)+C \] Utilizziamo ora la formula fondamentale del calcolo integrale: \[ \int_{a}^{b}f\left(x\right)dx=F\left(b\right)-F\left(a\right) \] ovvero \[ \int_{0}^{1}\frac{e^{x}}{e^{x}+2}dx=F\left(1\right)-F\left(0\right) \] \[ \int_{0}^{1}\frac{e^{x}}{e^{x}+2}dx=\left[\ln\left(e^{1}+2\right)+C\right]-\left[\ln\left(e^{0}+2\right)+C\right] \] \[ \int_{0}^{1}\frac{e^{x}}{e^{x}+2}dx=\ln\left(e+2\right)-\ln3 \] Quindi otteniamo: \[ \int_{0}^{1}\frac{e^{x}}{e^{x}+2}dx=\ln\frac{e+2}{3} \] Esercizio 3 \[ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{2}x\cos xdx \] Soluzione

Calcoliamo l’integrale indefinito \[ F\left(x\right)=\int\sin^{2}x\cos xdx=\frac{\sin^{3}x}{3}+C \] Utilizziamo ora la formula fondamentale del calcolo integrale: \[ \int_{a}^{b}f\left(x\right)dx=F\left(b\right)-F\left(a\right) \] ovvero \[ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{2}x\cos xdx=F\left(\frac{\pi}{2}\right)-F\left(0\right) \] \[ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{2}x\cos xdx=\left(\frac{\sin^{3}\frac{\pi}{2}}{3}+C\right)-\left(\frac{\sin^{3}0}{3}+C\right) \] Quindi otteniamo: \[ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{2}x\cos xdx=\frac{1}{3} \]

10 thoughts on “Integrali definiti – Batteria 3

  1. Salve Albert.
    Innanzitutto complimenti per questa magnifica pagina.
    Volevo porvi la seguente domanda:
    Nell’esercizio Nr. 3, nella risoluzione dell’integrale indefinito, compare il grado 2 al seno. Non bisogna considerare come derivata di sen^2(x)= 2cos(x) e procedere per parti?
    Vi ringrazio anticipatamente per la risposta.

    1. Quando ci si trova ad integrare una frazione può prenderne essere appicata una regoletta molto comoda: se il nominatore è la derivata del denominatore allora la primitiva del tutto è il logaritmo naturale (ln) del denominatore.
      In questo caso la derivata del denominatore (e^x + 2) è proprio (e^x + 0)=e^x perció la primitiva del tutto è semplicemente ln(e^x + 2)

  2. Ciao Albert potresti spiegatmi i passaggi per calcolare l’integtale indefinito di sin^2xcosx del terzo esercizio? Grazie anticipatamente

    1. Si: integri direttamente (senx)^2 come una potenza ottenendo (senx)^3 /3. Questo lo puoi fare perchè dentro l’integrale hai cosx (derivata della funzione interna senx) che moltiplica appunto la potenza (senx)^2

  3. ciao albert, nel primo esercizio come fa tangente pigreco/3 ad uscire radice3?? ke procedimento si usa?? così anke per cotangente pigreco/3?? come fa ad uscire radice3/3?? aiutamiii grazie mille ottimo sito

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