Quesito 5 – Testo e soluzione – Maturità 2012 Liceo scientifico

Quesito1

Siano dati nello spazio \( n\) punti \( P_1, P_2, P_3,…P_n\). Quanti sono i segmenti che li congiungono a due a due? Quanti i triangoli che hanno per vertici questi punti (supposto che nessuna terna sia allineata)? Quanti i tetraedri (supposto che nessuna quaterna sia complanare)?

Soluzione

Per determinare il numero dei segmenti va osservato che uno stesso segmento è infividuato dai suoi punti estremi ed è indifferente l’ordine con cui questi vengono indicati (il segmento AB equivale al segmento BA). Pertanto il numero dei segmenti è pari al numero delle combinazioni semplici di \(n\) elementi presi a gruppi di due ovvero
\[
C_{n,2}=\binom{n}{2} =\frac{n!}{n!(n-2)!}.
\]
Ricordando che \(n!=n(n-1)!\), allora \(C_{n,2}\) si semplifica come:
\[
C_{n,2}=\frac{n!}{n!(n-2)!}=\frac{n(n-1)(n-2)!}{2!(n-2)!}=\frac{n(n-1)}{2}.
\]
Analogamente per i triangoli: i punti sono ora selezionati a gruppi di 3 e non essendo allineati ad ogni terna corrisponde un triangolo. Quindi
\[
C_{n,3}=\binom{n}{3} =\frac{n!}{n!(n32)!}=\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)!}{6\cdot(n-3)!}=\frac{n(n-1)(n-2)}{6}.
\]
Infine, per i tetraedi i punti vanno scelti a gruppi di quattro e ciascuna quaterna dà luogo ad un tetraedro in quanto i quattro vertici non possono essere complanari. Allora
\[
C_{n,4}=\binom{n}{4} =\frac{n!}{n!(n-4)!}=\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)!}{24\cdot(n-4)!}=\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{24}.
\]

 

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