Probabilità intersezione e unione e principio di inclusione/esclusione

In una città di provincia vengono venduti tre quotidiani di qui in poi denominati con A, B e C. Il quotidiano A è letto dal 20% della popolazione, il quotidiano B dal 16% e il quotidiano C dal 14%. Inoltre l’8% della popolazione legge entrambi i quotidiani A e B, il 5% legge entrambi i quotidiani A e C e il 4% legge entrambi i quotidiani Be C. Il 2% legge tutti e tre i quotidiani. Calcolare:

a) la probabilità che una persona di quella città legga almeno un quotidiano;
b) la probabilità che una persona di quella città non legga alcun quotidiano;
c) la probabilità che una persona di quella città legga un solo quotidiano.

Soluzione

Scriviamo i dati del problema:

• \(P(A)=0.20\)
• \(P(B)=0.16\)
• \(P(C)=0.14\)
• \(P(A\cap B)=0.08\)
• \(P(A\cap C)=0.05\)
• \(P(B\cap C)=0.04\)
• \(P(A\cap B\cap C)=0.02\)

a) Tale probabilità è data dalla probabilità dell’unione dei tre eventi \(A,B\) e\(C\), la quale, per il principio di inclusione ed esclusione è data da:

\[\begin{eqnarray*}
P(A\cup B\cup C)&=&P(A)+P(B)+P(C)+\\
&-&\left[P(A\cap B)+P(A\cap C)+P(B\cap C)\right]+\\
&+&P(A\cap B\cap C)=0.35\end{eqnarray*}\]

b) Si può ottenere calcolando la probabilità dell’evento contrario a \(A\cup B\cup C\):

\[P(\overline{A\cup B\cup C})=1-P(A\cup B\cup C)=1-0.35=0.65\]

c) Basta calcolare la somma di:

1. probabilità che una persona legga solo A:
   \[P_A=P(A)-P(A\cap B)-P(A\cap C)+P(A\cap B\cap C)=0.09\]
2. probabilità che una persona legga solo B:
   \[P_B=P(B)-P(A\cap B)-P(B\cap C)+P(A\cap B\cap C)=0.06\]
3. probabilità che una persona legga solo C:
   \[P_C=P(C)-P(A\cap C)-P(B\cap C)+P(A\cap B\cap C)=0.07\]

Quindi, la probabilità che una persona legga un solo quotidiano vale:

\[P_A+P_B+P_C=0.22\]

A cura di Samuel Leanza