Test di adattamento per una distribuzione di Poisson
Da una rilevazione sugli incidenti stradali condotta per 65 settimane su un tratto di autostrada si è ottenuta la seguente distribuzione di frequenze:
Si verifichi se la v.c. in questione è una Poisson ad un livello di significatività \(\alpha=0.01\).
Soluzione
Indichiamo con
- \(X\) la variabile “numero di incidenti”
- \(n=65\) la numerosità del campione
- \(k=3\) il numero delle classi
Nota che il numero delle classi è pari a 3 perchè le classi con numero di incidenti =2 e >3 verranno accorpate in un’unica classe.
Dato che la media campionaria è uno stimatore non distorto e consistente, possiamo stimare il parametro \(\lambda\) della distribuzione di Poisson calcolando appunto la media della distribuzione di frequenza data:
\[\lambda=\frac{0\cdot 48+1\cdot 15+2\cdot 2+0\cdot 3}{65}=0.2923\]
Per effettuare il test, dobbiamo calcolare i valori delle frequenze teoriche della variabile \(X\), mediante la distribuzione di Poisson con parametro \(\lambda=0.2923\), ovvero:
\[f_{teorica}=P(X=x)\cdot n=\frac{e^{-\lambda}\cdot \lambda^x}{x!}\cdot n\]
Ad esempio per \(X=0\), ricordando che \(0!=1\), avremo:
\[f_{teorica}=P(X=0)\cdot n=\frac{e^{-0.2923}\cdot 0.2923^0}{0!}\cdot 65=48.5250\]
In sintesi riportiamo i calcoli effettuati nella seguente tabella:
Poichè, per condurre correttamente il test è necessario che tutte le frequenze teoriche siano maggiori o uguali a 5, è necessario accorpare la terza modalità con la seconda in una nuova classe che avrà frequenza osservata pari a 17 e frequenza teorica pari a $16.2573$.
Essendo un test chi-quadro di adattamento, le ipotesi da verificare sono:
\[\begin{cases}
H_0: \mbox{I dati si adattano alla distribuzione teorica}\\
H_1: \mbox{I dati non si adattano alla distribuzione teorica}\end{cases}\]
e la statistica test da utilizzare sarà una \(\chi^2\) (Chi-quadro o Chi- quadrato) con \(k-1-m=1\) gradi di libertà (dove \(m=1\) è il numero di parametri della distribuzione stimati dai dati):
\[\begin{eqnarray*}
\chi^2 &=& \sum_{i=1}^k\frac{(f_{teor_i}-f_{oss_i})^2}{f_{teor_i}}\\
&=& \frac{(48.5250-48)^2}{48.5250}+\frac{(16.2573-17)^2}{16.2573}=0.0396\end{eqnarray*}\]
Il valore critico al livello \(\alpha=0.01\) è:
\[\chi_{\alpha,k-1-m}^2=\chi_{0.01,1}^2=6.635\]
come mostra l’immagine di seguito:
Poichè \(\chi^2=0.0396 < \chi_{0.01,1}^2= 6.635 \), non possiamo rifiutare \(H_0\), per cui diciamo che i dati provengono da una distribuzione di Poisson.
A cura di Samuel Leanza