Statistica – Economia Unito – Esame 1 – Esercizio 4

Retta di regressione lineare
Con riferimento alle seguenti coppie di valori
\[\begin{align*}
X &= 3 & &4 & &5 & &6 & &7 & &8\\
Y &= 10 & &12 & &5 & &16 & &10 & &17\end{align*}\]
calcolare con il metodo dei minimi quadrati intercetta \(a\) e pendenza \(b\) della retta \(\hat{Y}=a+bX\). Calcolare inoltre il coefficiente di correlazione lineare \(r_{X,Y}\), precisando entro quali limiti è in generale sempre sicuramente compreso.

Soluzione

Prima di tutto calcoliamo i valori medi campionari \(\overline{x}\), \(\overline{y}\), le varianze campionarie \(s_x^2\), \(s_y^2\) ed infine la covarianza campionaria \(s_{x,y}\):

\[\begin{eqnarray*}
\overline{x}&=&\frac{3+4+5+6+7+8}{6}=5.5\\
\overline{y}&=&\frac{10+12+5+16+10+17}{6}=11.6667\\
s_x^2 &=& \frac{3^2+4^2+5^2+6^2+7^2+8^2-6\cdot 5.5^2}{6-1}=3.5\\
s_y^2 &=& \frac{10^2+12^2+5^2+16^2+10^2+17^2-6\cdot 11.6667^2}{6-1}=19.4667\\
s_{x,y}&=& \frac{3\cdot 10+4\cdot 12+5\cdot 5+6\cdot 16+7\cdot 10+8\cdot 17-6\cdot 5.5\cdot 11.6667}{6-1}=4\end{eqnarray*}\]

Adesso è facile calcolare \(a\) e \(b\) utilizzando le formule che vengono fuori applicando il metodo dei minimi quadrati:

\[\begin{cases}
a=\frac{s_{x,y}}{s_x^2}=\frac{4}{3.5}=1.1429\\
b=\overline{y}-a\overline{x}=11.6667-1.1429\cdot 5.5=5.3808\end{cases}\]

La retta di regressione è quindi \(\hat{Y}=1.1429+5.3808X\).

Il coefficiente di correlazione lineare si trova pure facilmente:

\[r_{X,Y}=\frac{s_{x,y}}{\sqrt{s_x^2\cdot s_y^2}}=\frac{4}{\sqrt{3.5\cdot 19.4667}}=0.4846\]

Il risultato è ammissibile poichè il coefficiente di correlazione lineare è sempre compreso tra -1 e 1.

A cura di Samuel Leanza

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